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多くの理系の大学1年生が学ぶ微分積分学は「実数をベースにした関数の微分・積分を扱う分野」ということができます． この微分積分学に対して，複素解析学は「複素数をベースにした関数の微分・積分を扱う分野」ということができます． このように聞くと「実数の時よりも複雑になりそう……」という印象を持ってしまうかもしれません．しかし，実は複素解析学は非常に整っており，実数のときよりも便利になることがよくあります． 本講座では，重要な応用をもつ留数定理を目標として，複素解析学を基礎から学びます．
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複素解析はその名の通り「複素数をベースにした解析学（微分・積分を考える分野）」で，関数論や複素関数論とも呼ばれます．そのため，本講座では最初に複素数の基本的な扱いを整理します．
次に複素解析学の主役である複素関数の基礎事項を学び，複素微分と複素積分を考えます．ここでは理論だけではなく，具体的な計算を多く挙げて，実際にどう計算するのかといった実践的なイメージも説明します．
最後に本講座の目標である留数定理を学び，留数定理の広義積分への応用を考えます．ここでも具体例を多く挙げて実際にどのように考えて留数定理を使うのかを説明します．
堀川穎二著『複素関数論の要諦［新装版］』(日本評論社)を教科書として使用します。
堀川穎二
日本評論社
留数定理を学んで，広義積分の計算に応用することを目標とします．
高校数学の微分・積分は前提とします．ただし，微分・積分の具体的な計算までできなくても，どういうものだったか覚えていれば十分です．
また，大学数学の微分積分学と関連した内容も多いので，微分積分学を既に学んでいればより深く理解することができます．
複素解析（関数論）は複素数に関する関数を扱う分野なので，複素数の基礎知識を整理しておくことは大切です．このセクションでは複素数の基礎知識を解説します．
大まかには
を主なテーマとして複素数の基礎を学びます．
複素数を与えると複素数を返す関数のことを複素関数といい，冒頭でも少し触れたように複素解析は複素関数の微分・積分を考える分野ということができます．
そのため，複素関数の微分・積分を学ぶ前に複素関数の基本的な扱いに慣れておきたいところです．
また，複素解析ではベキ級数と呼ばれる複素関数がとくに重要で，複素関数の微分・積分に密接に関わってきます．
このセクションでは複素関数の基本的な考え方を学び，ベキ級数についても丁寧に説明します．
形式的には複素微分(複素関数の積分)は実数の場合と同様に定義され，実数の場合に成り立たなかった非常に良い性質があります．複素微分は複素関数のテイラー展開
$$f(z)=c_0+c_1(z-\alpha)+c_2(z-\alpha)^2+\dots$$
と深く関わっており，このことが複素解析の扱いやすさに繋がっています．
このセクションでは複素微分とテイラー展開との関係を目標に，複素微分を基礎から学びます．
複素積分(複素関数の積分)は微分積分学で学ぶリーマン積分と同様に定義され，実数の積分の複素数への拡張になっています．
複素積分の理論の中心となる重要な定理にコーシーの積分定理があります．コーシーの積分定理は複素微分と複素積分を結びつける強力な定理ということもでき，「複素解析の定理の中で最も美しい定理」と評されることもよくあります．
このセクションでは複素積分の考え方を学び，コーシーの積分定理を目指します．
そもそも歴史的には複素解析は実数の積分への応用をひとつの目標として研究され始めたという経緯があります．その重要な成果のひとつに留数定理という定理があり，留数定理を用いると例えば
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos{x}}{x^4+1}\,dx$$
のような広義リーマン積分が比較的簡単に計算できます．
この留数定理を理解するためには，テイラー展開の拡張であるローラン展開を準備する必要があります．
このセクションではローラン展開・留数定理を順に学び，留数定理を用いた広義リーマン積分の計算の方法を解説します．
| 講座名 | 複素解析入門 |
|---|---|
| 担当講師 | |
| 開講スケジュール |
土曜クラス : 13:30-15:30
2023年10月7日～2024年3月2日
12月30日,2月10日土曜日は休講です。 ※詳細はこちらのカレンダーをご確認ください。 |
| 受講方法 |
Zoomによるオンライン講座 |
| 教科書 | 堀川穎二著『複素関数論の要諦［新装版］』(日本評論社) ※著作権の関係上、お持ちでない場合は必ずご購入いただくようお願いいたします。著者及び出版社には、教科書として使用する許可を得ておりますが、本講座とは無関係です。 本講座に関しては弊社へのみお問い合わせください。 |
| 受講料 | 税込19,500円/期（税込97,500円/5期一括） ※お支払い期日の詳細はこちらのカレンダーをご確認ください。 |
| お支払い方法 |
クレジットカード支払いは本ページ下部「受講料のお支払いについて」よりお願いいたします。 |
| 準備物 | ・教科書 |
| 動画共有 | 授業は録画されます。録画（アーカイブ動画）は授業終了から5年間オンラインにて繰り返しご視聴いただけます。（ダウンロード不可） 詳細はこちらのページをご確認ください。 |
| その他 | 初回講義での体験受講が可能です。 |
下記のボタンを押すと該当する集団講座のチケットをご購入いただけます。
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| 1期分 | 2期分 | 5期一括 |
|---|---|---|
2020年前期分よりオンライン授業を録画し、授業の録画販売（アーカイブ販売）を行っております。
アーカイブ講座の動画購入をご検討いただく場合は、下記についてご確認をお願いいたします。
本講座は開講中の講座はございません。
アーカイブ講座(録画購入）にてご受講いただけます。
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| 講座名 | 動画内容 | 講師名 | 受講料 |
|---|---|---|---|
| 複素解析入門 2023年後期 |
全20回 （各120分） |
山本 拓人 | 19,500円/期（97,500円 /5期一括） |
| 複素解析入門 2022年前期 |
全19回 （各120分） |
小林 伸達 | 19,500円/期（97,500円 /5期一括） |
年度別 講座情報
| 年度 | 講座情報 |
|---|---|
| 2022年前期 | 2022年前期は山本直樹著『複素関数論の基礎』(裳華房) |
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