微分方程式入門

2021年度4月開講分、お申込受付中です。こちらからお申込みいただけます。

講座の概要

微分方程式は物理的に重要な背景を持つものが少なくありませんが、純粋に数学的な手法による研究も盛んに行われています。本講座では微分方程式を数学的に基礎から学んでいくことができます。

微分方程式は大きく

  • 常微分方程式(1変数の未知関数の導関数に関する方程式)
  • 偏微分方程式(多変数の未知関数の導関数に関する方程式)

の2つに分けられます。これらを比較すると変数の少ない常微分方程式の方が扱いやすいことも多く、偏微分方程式は解を明示的に表すどころか解が存在しないことも珍しくありません。

本講座では「そもそも微分方程式とは何か?」という基本事項から始め、常微分方程式をメインに終盤には偏微分方程式への導入を目指します。

受講にあたって

受講にあたって微分積分の基本的な知識は前提とします。また、大学で学ぶ微分積分学、線形代数学を知っていれば、より深く講座を理解できます。詳しくは以下のとおりです。

前提知識

  • 高校数学の数学Ⅲの微分積分

微分方程式を解く際に微分積分の計算をするので、高校数学の数学Ⅲ程度の微分積分学は前提とします。

あると良い知識

  • 線形代数学
  • 微分積分学

連立常微分方程式を考える際には線形代数学で学ぶ固有値問題を利用することになるため、線形代数学が必要となります。
また,常微分方程式の解の存在と一意性を示す重要なものとしてピカール-リンデレフの定理があります。この定理の本質的な部分(ピカールの逐次近似) の背景としてBanachの不動点定理(縮小写像の原理) があり、この定理を理解するために大学初年等で学ぶ微分積分学で学ぶCauchy列が必要となります。こちらは必要に応じて講義内で説明する予定です。

カリキュラム

本講義では以下の内容を扱う予定です。

1.微分方程式の基礎

最初に微分方程式がどういうものかを説明します。微分方程式の解を求めることを「微分方程式を解く」といいますが、微分方程式は解けるものばかりとは限りません。つまり、微分方程式は解が存在することは分かっても、解の形がどうなるか分からないものもたくさんあります。
しかし、微分方程式が解けないからといって、解がどうなっているか分からないわけではありません。つまり、解を明示的に書けなくても、解の挙動を予測できることもあります。このセクションでは具体例を交えつつ微分方程式の考え方を説明します。

2.解ける常微分方程式

微分方程式は必ずしも解けるわけではありませんが、微分方程式が解ける場合には解を明示的に表せることも大切です。そこで、解ける常微分方程式を

  • 1階常微分方程式
    • 1階1次常微分方程式
    • 1階高次常微分方程式
  • 高階常微分方程式
    • 高階線形常微分方程式
    • 高階非線形常微分方程式

に分けて説明します。このセクションは具体的に微分と積分を用いて微分方程式を解く実践的な内容となります。

3.連立常微分方程式

以上では微分方程式は全て単一の微分方程式を考えていますが、ここでは連立の微分方程式を考えます。一般にn 個の未知関数に関するn 本の連立微分方程式の場合には、n 正方行列の問題に帰着させることで微分方程式を考えることができ、解の挙動をn 次元空間の曲線で図示することができます。
本講義ではとくに n = 2 の定数係数の場合を扱います。この場合は2次正方行列の固有値問題を考えることで、解の挙動を分類することができます。このセクションでは線形代数学の復習も行います。

4.常微分方程式の解の存在と一意性の定理

最先端の研究で扱われているような微分方程式は解を解くことは極めて困難なものが多くありますが、そのような場合には解の形を求めることは諦めて

  • 解は存在するか
  • 解が存在するなら一意に定まるか

といったことを考えます。常微分方程式における解の存在と一意性の基本定理としてピカール・リンデレフの定理があります。
この定理はピカールの逐次近似と呼ばれる解の近似が本質的で、この背景にはBanachの不動点定理(縮小写像の原理)があります。Banachの不動点定理は不動点がただ一つ存在することを保証する定理で、微分方程式の解の存在と一意性を示すために広く用いられています。Banachの不動点定理を理解するためには微分積分学の知識が必要なので、このセクションでは微分積分学の復習も行います。

5.偏微分方程式への導入

最後に偏微分方程式に関するさまざまなトピックを取り扱います。例えば

  • 2変数2階偏微分方程式の分類(双極型、放物型、楕円型)
  • 様々な偏微分方程式(波動方程式、熱方程式、ラプラス方程式など)
  • 発展方程式の基本解(フーリエ変換による解法)

などを予定しています。

受講詳細

お申し込みは、お申込フォームからお願いします。

名称 微分方程式入門
講師 山本拓人
日程

・日曜クラス 13:00-15:00, 4月11日-8月29日

(5月2日、8月15日休講)

*詳細は下記の開講スケジュールをご参照ください。

場所

Zoomによるオンライン講座となります。

教科書 講師オリジナルテキスト
※ テキスト代は受講料に含まれています。
受講料 19,500円/月 クレジットカード支払いはこちらのページから。
持ち物 ・筆記用具

お申込み

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お問合せ内容 詳細


 

開講スケジュール

5月2日日曜日、8月15日日曜日は休講です。

  日曜日クラス
13:00〜15:00
第1講 4月11日
第2講 4月18日
第3講 4月25日
第4講 5月9日
第5講 5月16日
第6講 5月23日
第7講 5月30日
第8講 6月6日
第9講 6月13日
第10講 6月20日
第11講 6月27日
第12講 7月4日
第13講 7月11日
第14講 7月18日
第15講 7月25日
第16講 8月1日
第17講 8月8日
第18講 8月22日
第19講 8月29日