【無料公開講座 ’26】直観的に理解する大学数学

例えば「実数x、yがx²+2xy+3y²=1を満たしながら動くときのf(x、y)=x²+y²の極値を求めよ」のように、変数が制約条件を満たして動くときの関数の極値を求めたいことは純粋数学だけではなく数学が応用される場面でもよくあります。このような、制約条件付き極値問題を解く際に強力な道具となるのがラグランジュの未定乗数法です。

ただラグランジュの未定乗数法はラグランジュ関数なる関数を用いて述べられることが多いのですが、ラグランジュ関数が直観的に何を意味しているのか理解できず困ってしまうという話をよく聞きます。

本セクションでは、ラグランジュの未定乗数法の直観的な考え方を解説し、その考え方とラグランジュ関数の関係について解説します。

ベクトル値関数の重要な微分作用素のひとつに発散divというものがあります。発散divは直観的にはベクトル値関数の各点での「流れの湧き出し・吸い込み」を表す量で、数学はもちろん物理学などでもよく現れます。また、ガウスの発散定理と呼ばれる発散divを用いた重要な積分公式があります。

ガウスの発散定理は「有界閉集合Ω上の発散divの積分」を「Ωの境界上の積分」に書き換える定理で非常に便利なのですが、なぜ有界閉集合Ω上の積分がΩの境界上の積分に書き換えられるのか直観的に捉えるのが難しいという話をよく聞きます。

本セクションでは、発散divがなぜ「流れの湧き出し・吸い込み」を表すと考えられるのかを解説し、ガウスの発散定理の直観的な解釈を解説します。

多項式は関数の中でも計算や解釈などが簡単で理解しやすい関数のひとつです。したがって、（直観的には）多項式の次数を無限にしたベキ級数（整級数）は重要な関数の表し方のひとつです。ただ、関数を級数として与えることによって収束・発散の問題が生じることになり、そこで変数がどのようなときに整級数が収束するかを示す収束半径が重要となります。

収束半径を求める公式として有名なものにダランベールの判定法（ratio test）とコーシーの判定法がありますが、これらの公式がなぜ成り立つのか直観的に知りたいという話をよく聞きます。

本セクションでは、そもそも整級数がどのような関数であるかを解説し、ダランベールの判定法・コーシーの判定法の直観的な解釈を解説します。