線形代数と群の表現

2022年4月開講分、お申込み受付中です。こちらからお申込みいただけます。

講座の概要

この講座では、平井武著『線形代数と群の表現I, II』（朝倉書店）を教科書として、群の表現論に入門します。

群とは、モノの並べ替え、図形や空間の対称性、座標変換などを抽象化した概念で、数学のみならず物理学などでも基本的な対象です。群の表現論とは、行列やベクトルなどの線形代数の道具を通して群について理解する分野であり、また幾何学や物理学などに現れるさまざまな空間や関数、微分方程式などを、対称性を通して理解するための道具でもあります。

本講座では、群について学びたい方、線形代数が数学でどのように使われるのか知りたい方、幾何学や物理学に群論がどのように使われるのか知りたい方に向けて、豊富な具体例、応用例とともに群や線形代数について基礎から学んでいくことができます。

現代数学における「抽象化された群」にできるだけ自然に接近することを試みた教科書を用いて、正多面体の対称性を表す多面体群や非ユークリッド幾何学に関わるローレンツ群などの具体例を扱いながら理論的な基礎を学んでいきましょう。

本講座で用いる教科書は、「元気な高校生」でも読めるように書かれたもので、高校までに学ぶ数学のみを予備知識として、群や線形代数についても基本から同時に学んでいくことができます。群や線形代数を学んだ時にこれは結局どういうことに使えるのかなかなか分からないものですが、この講座では – 正多角形や正多面体の変換群 – ユークリッド空間や非ユークリッド空間の運動群 – ロバチェフスキーの双曲型非ユークリッド空間と運動群 – 力学、電磁気学、相対性理論、素粒子理論との関係 などの豊富な応用例を扱います。

抽象的な数学を学ぶ上では様々な具体例について親しむとともに、数学的な事実を論理のみに基づいて証明していくことが必要です。演習問題については、自分の書いたものが正しいのか間違っているのかというのはなかなか判断するのが難しいものです。そこで、この講座では教科書の演習問題や講師自作の練習問題を毎週提示し、提出いただいた解答を添削します。

受講にあたって

前提知識

高校までの数学特にベクトル、複素数、三角関数、微積分については前提とします。

以下の内容については、講座の中でも解説しますが多少馴染みがあると話が聞きやすいです。

• 行列や線形写像
• 集合や写像

問題解答の添削

教科書の演習問題のうち講義中に指定した問題及び講師が作成した問題について、ご提出いただいた解答を添削いたします。

カリキュラム

教科書の順番に沿って、1回の講義につき1章の予定で進めます。内容の概略を以下に紹介します。

第1部 入門：群とその表現、および線形代数

群とは何かという歴史的背景から初めて、正多面体の対称性を表す多面体群、ガロア理論などとも関わりの深い置換群について紹介します。線形代数にも入門します。

第2部 具体的な群、および群の作用と線形表現

置換群や多面体群についてより詳しく調べ、ユークリッド空間の運動群という連続的な群についても入門します。関数への群の作用を通して表現論の考え方に入門します。

第3部 多面体群と置換群の表現、および表現論基礎

多面体群や置換群の表現について調べていきます。表現について調べる上での基本的なピースに既約表現というものがあります。また置換群の表現を調べる道具にヤング図形があります。これについても紹介します。

第4部 非ユークリッド空間・ユークリッド空間と物理学

ユークリッド空間や非ユークリッド空間と群の関係について、ユークリッド運動群やローレンツ群について学びます。また、ニュートン力学と群の関係についても学びます。

第5部 関数への群作用と群のユニタリ表現

関数空間への群の表現や、ベクトル空間のテンソル積について学びます。また、双曲幾何と群の関わりについて扱います。

第6部 群の表現論と現代物理学

誘導表現という表現の構成方法について学びます。また、発展的な内容として相対性理論、電磁気学、素粒子理論などと群の表現の関係について紹介します。

受講詳細

お申し込み、録画購入はお申込フォームからお願いします。

お申込み

お申し込みは、以下のお申込フォームからお願いします。

※お手数ですが、講座名について『線形代数と群の表現』を選択のうえ送信をお願いします。

開講スケジュール