有向点列の収束による位相空間論

点列、部分列の一般化としての有向点列、部分有向点列について紹介します。そして選択公理と同値な命題であるツォルンの補題を使って、任意の有向点列が非常に性質の良い部分有向点列(普遍部分有向点列)を持つことを証明します。これは、第二回で「コンパクトであることは任意の有向点列が収束する部分有向点列を持つことと同値」と言う命題（点列コンパクト性と類似）を示すために、決定的に効いてくる重要な命題です。

位相空間における有向点列の収束について紹介します。そして一般の位相空間における閉包、ハウスドルフ性、写像の連続性、コンパクト性、などを有向点列の収束を使って特徴付けます。
例えば、連続であることは収束する有向点列を収束する有向点列に写すことと同値であること、コンパクトであることは任意の有向点列が収束する部分有向点列を持つこと(点列コンパクト性と類似)と同値であることなどを証明します。

第一可算性、第二可算性、リンデレーフ性、可分性など、位相空間の代表的な可算性について紹介します。可算性を持った位相空間においては、閉包、ハウスドルフ性、写像の連続性、コンパクト性などは、点列で特徴付けることができることを示します。特に距離空間や、ユークリッド空間がどの様な可算性を持つかについてお話します。

直積位相を有向点列の収束により直感的に特徴付けます。そしてコンパクト性の有向点列の収束による特徴付けを用いた、チコノフの定理（コンパクト空間の任意の直積はコンパクト）の非常に簡単な証明を紹介します。