集合と位相

2021年度4月開講講座の録画販売についてお申し込み受付中です。

講座の概要

この講座では現代的な数学を記述するための基礎的な概念として集合や写像、位相空間や連続写像について学びます。

Wikipedia 内部（位相空間論）より. Licensed under パブリック・ドメイン via ウィキメディア・コモンズ

高校までで学ぶ数学では、数や式、図形などを素朴な感覚に基づいて扱うことも多く、また関数について調べるときもグラフを書いて視覚的に理解することがよくあります。一方で現代的な数学では、集合の言葉を用いてあらゆる概念の定義が述べられます。例えば、微積分を学ぶために必要な実数の性質であったり、線形代数における抽象的な線形空間や線形写像の定義をご覧になったこともあると思います。また、多様体などの現代的な幾何学であったり、関数空間など無限の取り扱いにおいて、 位相空間はその基礎となります。

このように数学に現れる様々な概念を記述するための言葉が集合や写像です。外国語などの言語を学ぶことで例えると、この講座で扱う集合や位相を学ぶことは現代的な数学における基本的な文法や単語を学ぶことにあたり、会話をしたり様々な文章を読むことが色々な数学の概念を学んだり理解を深めることにあたります。

このように様々な概念を記述するための言語であるがゆえに、集合や位相空間という概念は以上に抽象的です。であるからこそ、これらを扱う上では論理のみに基づいた証明が非常に重要です。しかし、論理のみに基づいた証明を記述するという能力は、講義を聞くだけでは身につきづらいものです。この講座では、指定した演習問題を提出いただきそれ添削することで、数学的な事実を証明する能力を身につけていただくことを目指します。

集合や位相空間は「もの」ですが、それに対して写像あるいは連続写像は「もの」同士の関係を記述する概念です。このような「もの」同士の関係に注目するという考え方は比較的近年になって主流となっている圏論的な考え方です。様々な数学的な概念を記述するために、冪集合、直積集合、商集合といった集合を用いますが、これらの性質を記述するには写像の言葉を用いることが非常に重要です。

本講座で使用する教科書は上に述べたような圏論的な考え方に基づいた記述が特徴的です。そのため、集合や位相について勉強したことがあって基本的な内容を既に知っているという方であっても、それらについて新たな理解を深めることができるという意味でお勧めできます。

教科書の著者、斎藤毅先生による文章「集合と位相―計算しない数学―」がこちらからご覧いただけますのでご覧ください。

受講にあたって

推奨される前提知識

高校で学ぶ程度の集合や論理についてなじみがあるとよいです。（3月27, 28日に開講する弊社講座論理学の基礎）
様々な例を理解するために、高校で学ぶ程度の数学と基本的な微分積分や線形代数についての知識があるとよいです。（弊社講座微分積分入門、線形代数入門）

問題解答の添削

数学的な事実を証明する能力を身につける上で実際に問題を解くことは必要不可欠です。この講座では指定した演習問題の解答をご提出いただき、講師が1つ1つ添削させていただきます。

カリキュラム

教科書の順番にしたがって講義を行います。ただし、教科書の7章と8章については時間に余裕がある場合のみ取り扱うこととします。

カリキュラム詳細

第1章 集合
ここではまず集合の基本的な取り扱いと論理の基本を学びます。高校の数学で学ぶような和集合、共通部分、補集合などに加え、現代数学で非常に重要な同値関係という概念を学びます。与えられたものたちを同一視するという状況を記述するための概念が同値関係です。

第2章 写像
集合の間の写像について学びます。講座の概要で述べたように、圏論的な視点に立って集合や位相空間を学ぶ上では非常に重要なテーマです。また1章で学んだ同値関係を用いて商集合を定義し、その普遍性を紹介します。

第3章 実数と位相
ここでは位相空間を学ぶための準備として、馴染みのあるユークリッド空間を用いて開集合や関数の連続性などの用語に触れます。数列や関数の極限などと位相空間の関係などを説明します。

第4章 位相
前章での具体的な場合の観察を踏まえて、ここでは位相空間と連続写像を定義します。また位相空間に関する基本的な用語として閉集合や近傍、閉包という概念を紹介します。

第5章 位相空間の構成
ここでは新しく位相空間を定める方法を紹介します。特にユークリッド空間の場合の位相の定義と同じように二点間の距離を用いて定める位相空間として距離空間を導入します。また、積位相や商位相などの定義を紹介し、圏論的視点としてこれらの普遍性を紹介します。

第6章 位相空間の性質
位相空間の性質について学びます。特にコンパクト性はある種の有限性を導くための非常に重要な性質です。コンパクト性の応用として、全ての方程式は複素数で解を持つという代数学の基本定理の証明をします。

受講詳細

お申し込み、録画購入はお申込フォームからお願いします。

お申込み

開講スケジュール

4月24日土曜日、5月1日土曜日、8月14日土曜日は休講です。

他の集団講座と異なり、4月3日開講となります。