線形代数の世界

2021年11月開講講座の録画販売についてお申し込み受付中です。

講座の概要

（※2021-10-21追記）2021年10月期の「線形代数の世界」講座は2021年11月7日開講となりました。

本講座は行列の基本的な計算方法などを既にご存知の方に向けた、抽象的な線形空間や線形写像の扱いについて学ぶための講座です。線形空間や線形写像の抽象的な取り扱いに基づいて対角化やジョルダン標準形について学び、さらに線形空間のテンソル積、商空間、双対空間などの概念を紹介します。

本講座では、東京大学出版会より出版されている、斎藤毅著『線形代数の世界　抽象数学の入り口』を教科書として講義を行なっていきます。教科書の著者、斎藤毅先生による文章「線形代数の世界」をこちらからご覧ください。

単に線形代数について学ぶだけではなく、線形代数の世界を通して抽象的な現代数学の考え方を学ぶことも本講座の目標としています。抽象的な空間を設定して問題を解決することと、個々の空間そのものを数学の対象とすること、この二つが現代数学の大きな特徴です。線形代数は様々な空間を調べるための道具の一つです。その線形代数を学ぶことによって現代数学で用いられている手法を学ぶことができます。

数学には三つの大きな分野、代数・幾何・解析がある、という話をお聞きになったことがあるでしょうか。例えば代数では線形空間を一般化した概念である加群や表現について調べます。幾何では空間の座標変換によって不変な量を求めることが中心的な問題です。解析では関数空間という無限次元の線形空間を扱います。このように線形代数はそれぞれの分野において大きな役割を果たしており、この講座で扱う抽象的な線形空間、線形写像や、部分空間、商空間、双対空間、テンソル積といった線形空間の構成が強力な道具となります。線形代数は代数・幾何・解析を結びつける役割を担っているのです。

抽象的な数学を学ぶ上では、数学的な対象を扱うための記述法を身につける必要があります。これによって、様々な具体例について親しみ、数学的な事実を論理のみに基づいて証明していくことができるようになります。この記述法には独特な部分もあり、講義を聞くだけや一人で本を読むだけでは身に付けづらいものです。そこで、この講座では教科書の演習問題や講師自作の練習問題を毎週提示し、提出いただいた解答を添削します。それを通して数学的対象の記述法を習得していただくことを目指します。

この講座を通して抽象的な現代数学の入り口としての線形代数の世界を一緒に覗いてみましょう。

受講にあたって

前提知識

行列の計算、掃き出し法、行列式、固有ベクトルや対角化などについての線形代数の基本的な知識は既に学んでいることを前提とします。これらについて詳細な解説は致しません。（弊社講座線形代数入門程度）

数学的な事実を扱うための論理や集合についての取り扱いに慣れているとよいと思いますが、これらについては講義中にも随時補足します。（弊社講座論理学の基礎 、弊社講座集合と位相の第2章まで、『論理と集合から始める数学の基礎』（日本評論社））

問題解答の添削

教科書の演習問題のうち講義中に指定した教科書の問題及び講師が作成した問題について、ご提出いただいた解答を添削いたします。

カリキュラム

教科書の順番に従って講義を行います。ただし、教科書の6章は時間に余裕がある場合のみ取り扱うこととします。

第1章 線形空間

まずは線形代数における主役の一つである線形空間を定義し、その例をみていきます。さらに、部分空間、基底や次元といった概念を扱います。

第2章 線形写像

線形代数におけるもう一つの主役である線形写像についてその定義や例を紹介します。また行列との関係についても説明します。線形写像や線形空間を調べる道具として、像や核、完全系列といった概念について説明します。

第3章 自己準同型

ここではあるベクトル空間からそれ自身への線形写像、つまり自己準同型について、特にその対角化やジョルダン標準形について扱います。最小多項式や固有多項式という道具を使ってこれらの性質を調べていきます。

第4章 双対空間

ここから教科書の後半で、線形空間や線形写像の様々な構成法を扱っていきます。まずは双対空間です。これは線形形式全体のなす空間であり、次章以降でも重要な役割を果たします。また双対空間の一般化として線形写像の空間を扱います。双対という概念は現代数学の様々なところに現れる概念ですが、その最も基本が線形空間の双対です。

第5章 双線形形式

内積の一般化である双線形形式を扱い、前章で扱った双対空間との関係を説明します。また特別なものとして対称形式、交代形式、エルミート形式などを扱います。

第7章 商空間

ここでは線形空間の構成として商空間を扱います。商空間は抽象的で特に写像の扱いが難しいですが、準備として写像のwell-defined性などを説明した上で、商空間の普遍性や準同型定理などを解説します。

第8章 テンソル積と外積

最後に線形空間のテンソル積を扱います。テンソル積は双線形写像を扱うための線形空間で、普遍性と呼ばれる性質によって特徴づけられます。普遍性の考え方は圏論的な視点で現代的に重要なものですが、初めて学ぶときには馴染みづらいため、その点を中心に解説します。また、ベクトル空間の外積と行列式の関係について扱います。

受講詳細

お申し込み、録画購入はお申込フォームからお願いします。

お申込み

お申し込みは、以下のお申込フォームからお願いします。

※お手数ですが、講座名について『線形代数の世界』を選択のうえ送信をお願いします。

開講スケジュール

12月26日、1月2日は休講です。

（※2021-10-21追記）2021年10月期の「線形代数の世界」講座は2021年11月7日開講となりました。