曲率とトポロジー（多様体入門）

まずは多様体の定義や基本的な例を通して多様体に入門します。多様体は大域的な幾何学を展開するための舞台であり、曲線や曲面の一般化ともいえます。

大域的というのは、ここでは特に全体として共通の座標を取ることができないという状況で、そのために座標変換の理論が必要になります。また、座標変換の理論を通して座標によらない性質をどのように採りだすか考えることができます。

このような大域的な状況は、いくつかの自由度をもちまたなんらかの条件に従う系について考える場合に生じます。
このような空間において微分や積分をどのように行うかが目標です。また、リーマン計量という概念を導入することで、座標によらずに曲線の長さや角などを図ることができます。

多様体上で座標によらず積分を行うため道具として微分形式があります。ここでは微分形式がどのようなものであるか、その基本的な扱い方と積分について学びます。さらに、微分形式をより一般化した状況を扱うための道具としてベクトル束という概念を導入します。

微分形式の積分についてのストークスの定理やガウスの発散定理など、ベクトル解析との関係を説明し、さらにコホモロジーという概念を通してある種の微分方程式の性質を調べます。

曲面や多様体などの空間における平行移動や直線を定めるための道具として、共変微分や接続という概念を導入し、ベクトル場やテンソル場の共変微分について考えます。

リーマン計量をもつ多様体においては、この計量と相性の良い接続が存在し、それによって測地線の概念を捉えることができます。

ここでは高次元の空間の曲がり具合を記述する様々な概念を学びます。特にリーマン曲率テンソル、断面曲率、リッチ曲率やスカラー曲率、アインシュタインテンソルなどを紹介します。

このように一般的に定まる曲率の概念を用いて、逆に通常の曲面の曲がり具合がどのように捉えられるかについても再考します。

さらに曲率の情報から多様体にどのような制約が定まるかという問いに対する一つの答えとして、定曲率多様体の一意化定理を紹介します。例えば球面は定曲率多様体ですが、これの高次元化がどのようなものになるかを考えることができます。

ここまでの話の応用として、サーストンの幾何化予想とポアンカレ予想について扱います。

2次元の曲面は種数により分類され、球面、ユークリッド、双曲のいずれかの幾何構造をもちます。

3次元の場合に同様のことが言えるかという問いに対して、8種類の幾何構造があることがわかります。コンパクト3次元多様体は分解してそれぞれのピースがいずれかの幾何構造のモデルをもち、体積が有限になるようにできます。

この事実は、リッチフローという道具を用いてペレルマンによって解決され、さらにそのことからポアンカレ予想が証明されました。ここではこのような話題を簡単に紹介します。

リーマン計量や測地線などの概念を用いて、一般相対性理論、アインシュタインの重力場方程式、ブラックホール、重力レンズなどを数学的に記述します。

教科書のタイトルにある通り、宇宙のかたちをどのように数学を用いて調べるかについて議論します。