初学者のための代数幾何

『フィールズ賞』をご存知でしょうか。研究者に贈られる褒章のうち、もっとも権威あるもののひとつはノーベル賞でしょう。しかし、ノーベル賞に「数学賞」は存在しません（ノーベル自身と知人の数学者との間に確執があったためともいわれます）。数学界において、ノーベル賞に匹敵、あるいはそれを上回る栄誉とされているのがフィールズ賞です。4年に一度、40歳未満の数学者にしか授与されないこの賞を得ることは、確かに容易ではないでしょう。そんなフィールズ賞ですが、日本人としては小平邦彦氏、広中平祐氏、森重文氏の3名が受賞されています。実は、3名とも代数幾何学という分野に関連する研究で受賞されているのです。日本では代数幾何学の研究が盛んであること、またフィールズ賞に値すると評価される重要な分野であることが伺えます。数理物理や情報系の理論とも関連が深く、暗号理論や機械学習の世界にもその技術的基盤を提供しています。

そんな代数幾何学ですが、いざ学ぼうと思うとなかなかに苦難の道です。線形代数・微分積分・集合と位相の知識はもちろん、群論や環論などの代数学の知識も必要です。とりわけ可換環論はディープな知識が求められます。いざ代数幾何学の入門書を開くと、どこが「幾何」なのかわからない、難解な議論が延々と続く……長年にわたり多くの優れた数学者たちが築き上げてきた分野ですから、そんな印象を持ってしまうことも仕方のないことかもしれません。

ところが、そのおもしろさとアイデアに触れることは、決して困難なことではありません。本講座のテキスト『初学者のための代数幾何』は、本格的な教科書というよりも、初等的な数学の知識をもとにして、代数幾何学の理解の糸口を掴むことを意図して執筆されています。本講座では、まず「アフィン平面」や、無限遠点を含む「射影平面」といった代数幾何学の舞台を構築します 。次に、多項式が定義する曲線の分類や、微分を用いて曲線の滑らかさ（単純点・特異点）を判定する方法を学びます 。特に、複数の曲線がどのように交わるかを数学的に記述する強力な道具として知られる「ベズーの定理」を紹介します。

さらに、特異点を持たない3次曲線に定義される「幾何学的演算」や、曲線の本質を捉える「関数体」の概念に触れます 。これは、図形に代数的な構造を導入し、その性質を調べる現代的なアプローチの基礎となります。講義の後半では、高次元の射影空間を導入し、特異点を解消する「非特異モデル」の考え方を学び、複雑な対象の本質を捉える手法を学びます 。最終的に、線型系という関数の空間の概念を通じて、幾何学的な不変量と代数的な構造の関係を理解することを目指します。

この講座を通じて、代数幾何学の世界へ最初の一歩を踏み出すのみならず、抽象数学の思考様式に触れ、さまざまな問題解決へ応用していただける確かな思考上の「基礎体力」を身につけていただければと思います。