リーマン幾何と相対論

「一般相対論の数学を理解したい」という方向けの講座です。

まずは微分幾何をしっかり学んでいきます。普通の多変数関数の微分積分の舞台は、xy平面やxyz空間などの直交座標系が入ったユークリッド的空間で、「まっすぐな」座標系が空間すべてに行き渡っています。しかしそれは、球面のような曲がった舞台ではなりたちません。座標軸も曲がってしまい、空間を部分的にしかカバーできなくなります。直交座標系という特別な座標系がない曲がった空間では、どんなヘンテコな座標の採り方もありえて、それらはすべて対等です。ですから、曲がった空間では、「空間そのもの」と「座標系」をはっきり分離します。そして、「空間そのもの」さらには、「座標系の採り方によらない図形的・物理的対象」を座標系の上位に置いて、図形的・物理的対象を任意の座標系で首尾一貫して取り扱う数学を提供します。

図形的・物理的対象は、具体的にはテンソルというもので表されます。接ベクトル・接空間の再定義から始めて、より複雑なテンソルへと話を広げていきます。
テンソルは、曲がった空間上での積分を再定義するための鍵にもなります。積分の定義を磨き上げることで、ガウスの定理・ストークスの定理を統一的視点で再構築することもできます。ユークリッド空間を前提としていた div や rot という概念が、曲がった空間にどのように敷衍されるかもわかるでしょう。

一般相対論で言う「時空の曲がり」とは、「長さ」や「角度」で計られる「形」に関わる曲がり方の話です。長さや角度の根源である「計量」に光を当て、曲がり方を定量的に計る「曲率」を定義します。計量さえ決まれば曲率が決まりますが、それをどうやって計算するのかが明らかになります。

ここから、時空の曲がりが「重力」として立ち表れる様を見ていきます。また、宇宙が真空であっても曲率は0になりません。「真空」という条件が曲率に与える制約から計量も制約され、そのような計量の一例として「ブラックホールが存在する宇宙」を数式として導出します。最後に、ブラックホールのもとでの様々な物理の一端に触れていただきます。