確率論

2022年4月開講分、お申込み受付中です。こちらからお申込みいただけます。

講座の概要

この講座では、熊谷隆著『確率論』（共立出版）を教科書として、測度論に基づいた確率論への入門的な内容と共に、確率論のさまざまな応用について学びます。

確率論は統計や機械学習、物理学、数理ファイナンスなどさまざまな分野で応用されています。一方で、現代的な数学においては測度論という抽象的な理論を土台に展開されます。この教科書では、測度論による確率論の基礎づけとともに、豊富な応用例が紹介されており、理論と応用の相互の関わりを意識しながら学ぶことができます。

本講座では測度論やルベーグ積分はまだ知らないがこれから入門したいという方を主な対象として、教科書よりもさらに基本的な内容から測度やルベーグ積分について丁寧に解説します。また、測度論的な基礎に基づいて、大数の法則、中心極限定理、大偏差原理という基本定理やポアソン過程、ブラウン運動など確率過程の基礎についても解説します。

確率過程における重要な概念にマルチンゲールというものがあります。マルチンゲールの応用として「お見合いの問題」などとも呼ばれる「最良選択の問題」や数理ファイナンスにおけるオプション価格付けについてのブラックショールズの公式を扱います。また、電圧や電流、オームの法則やキルヒホッフの法則などが確率論的にどのような意味を持つのかについて学びます。電気回路と確率論という意外な組み合わせですが、離散調和解析の入門的内容であり、確率論と微分方程式の理論の関わりについて学ぶことができます。

抽象的な数学を学ぶ上では様々な具体例について親しむとともに、数学的な事実を論理のみに基づいて証明していくことが必要です。演習問題については、自分の書いたものが正しいのか間違っているのかというのはなかなか判断するのが難しいものです。そこで、この講座では教科書の演習問題や講師自作の練習問題を毎週提示し、提出いただいた解答を添削します。

受講にあたって

前提知識

大学初年級の線形代数（弊社講座線形代数入門）と微分積分（弊社講座微分積分入門）。高校で学ぶ範囲の数学、特に確率、数列などについて。

問題解答の添削

教科書の演習問題のうち講義中に指定した問題及び講師が作成した問題について、ご提出いただいた解答を添削いたします。

カリキュラム

おおむね教科書に沿って行いますが、以下のように多少順番を変更します。進度の目安は、教科書の各節を2回の授業で扱う程度です。

1.1, 1.2

まずは高校で学ぶ程度の確率の話から始めて、測度、確率空間、確率変数という基本的な概念を導入します。また測度論について、まずは次の応用を読める程度までの初歩的な部分を紹介します。

2.3

確率過程における基本的な概念であるマルチンゲールについて、その定義と基本的な性質を紹介します。また、その応用例である最良選択の問題や数理ファイナンスのオプションの価格付けについて学びます。

測度論について

測度論やルベーグ積分論について、特に本講座に必要な範囲の入門的な内容を扱います。また、1.2の内容をあらためて扱います。

1.3, 1.4, 1.5

確率論の基本的な三つの定理である大数の法則、中心極限定理、大偏差原理ついて学びます。

2.1, 2.2

時間と共にランダムに変化する関数である、確率過程について学びます。典型的な確率過程であるポアソン過程とブラウン運動について、微分方程式への応用と共に学びます。

第3章

電気回路とランダムウォークについて、電気回路の基本的な法則であるオームの法則やキルヒホッフの法則について確率論的な考え方を学びます。離散調和解析やグラフ理論への入門的な内容と共に、実解析と確率論の接点について触れます。

受講詳細

お申し込み、録画購入はお申込フォームからお願いします。

お申込み

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開講スケジュール