高校数学から始めるガロア理論

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講座の概要

ガロア理論とは、方程式の解が作る対称性に注目することでその方程式の性質を調べるものです。このような対称性を記述するものが「群」という数学的対象です。方程式に対してその群の性質を調べることで、5次以上の方程式の解の公式や作図可能性についての有名な事実を証明することができます。

現代から見たガロア理論の重要性として、対称性を記述するための数学的概念である群を発見したことにあります。群というのは、あみだくじや物の並べ替え、図形の回転や対称移動、方程式の解の対称性、行列、などといった数学や自然科学の様々な現象にあらわれるとても基本的な概念です。

この講座では、ガロア理論という目標を見据えながら、この群という数学的概念についての理解を深めていこうと思います。特に具体的な方程式とその解法の計算を通して、「方程式の解の対称性」というものが群を通してどのように記述されるかを見ていきます。さらに方程式に群を対応させるガロア対応、ガロアの基本定理と呼ばれる定理を具体的な方程式の計算を通して理解することを目標とします。

またガロア理論についての研究が進み、元々の代数方程式についての理論のみならず微分方程式や幾何学におけるある種の問題にも同様の理論が存在することが知られています。最終回ではそういった話の一部もご紹介したいと思います。

受講にあたって

受講に当たって役に立つ知識

多項式の展開や因数分解、三角関数や行列の簡単な計算に慣れていると話が理解しやすいです。

カリキュラム

1.方程式の解
2.群と作用
3.ガロアの基本定理
4.いろいろなガロア理論

講座詳細

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講師からの一言

ガロア理論というと解の公式や作図可能性の問題の話との関連が有名ですが、この講座ではできるだけ具体的な方程式とその群の計算を行うことで群について親しみを持てるようになりたいと思います。