無料公開講座 グレブナー基底入門

2021年12月開講分、お申込み受付中です。こちらからお申込みいただけます。

講座の概要

この世には様々な方程式がありますが、その中で最も基本的な方程式は多項式による方程式です。多項式による方程式を代数方程式といいます。

例えば、 \(y=x^2\) など、放物線を表す方程式も代数方程式の一つです。また、代数方程式 \(x^2=2\) の正の解は「面積が2である正方形の辺の長さ」となります。

このように代数方程式は基本的であるがゆえに様々な事柄を表すことができます。しかしながら、下記のように変数を増やしたり連立させたりすると、その様子は一気に複雑化していきます。

このような複雑な連立代数方程式をある程度簡単な形にしたり、計算機で扱いやすい形にする方法の一つとしてグレブナー基底理論があります。

例えば、上記の連立方程式に関するグレブナー基底を求めてみると下記のようになります。

これらの式=0で定まる方程式を考えてみると、zについて解く→yについて解く→xについて解くという流れで解が決定できることがわかります。しかも、グレブナー基底=0で定まる方程式と元の方程式は全ての解が一致することが知られているため、結果として元の方程式の解も求まりました。

本講義ではこのようなグレブナー基底について、背景にある数学的事実や計算方法、その応用などを、グレブナー基底研究で博士号を取得した講師が解説します。

受講にあたって

受講する上で必要な知識

高校数学までの数学、特に関数や、集合と論理について基本的な知識(参考:大人のための高校数学論理学の基礎

目標

  • グレブナー基底とは何者か、何ができるかを理解する。
  • グレブナー基底計算のやり方や、計算の困難性を理解する。

カリキュラム

計算編:グレブナー基底の計算方法とその応用

まずはグレブナー基底を計算して実物を観察してみましょう。無料の数式処理システムであるSageRisa/Asirを使って計算のデモンストレーションを行います。Sageはブラウザ上で動かす事もできますので、とりあえず計算してみながら受講することができます。(参考: SageMathCell, CoCalc

また応用の一つとして、グラフの塗り分け問題の一つである三彩色問題:「結ばれている頂点を同じ色で塗らないように、各頂点を三色で塗り分けよ」について、グレブナー基底を使った求解法を紹介します。

数理編:グレブナー基底の定式化、計算代数との関わり

グレブナー基底の定式化には多項式環のイデアルと項順序への理解が必要となります。まずは多項式環のイデアルや項順序のアイデアを説明し、どのようにグレブナー基底が定式化されるかを紹介します。

グレブナー基底理論の最大の応用として、抽象的な数学の概念をコンピューターで実現・計算する方法を研究する計算数学との関わりがあります。

本講義ではその実例として、代数方程式が定める図形の次元について、グレブナー基底を用いた計算方法を紹介します。

グレブナー基底は求まれば非常に強力ですが、一方で原理的な計算困難性があることも紹介します。

発展編:代数幾何学との関わり

半径1の円 \(x^2+y^2=1\) のように、代数方程式が定める図形を代数多様体といい、代数多様体を調べる学問を代数幾何学といいます。

本講義の最後では代数幾何学とグレブナー基底理論の関わりを紹介します。

そのほか、グレブナー基底を用いた研究にどのようなものがあるか、講演者の知る限り紹介します。

受講詳細

お申し込み、録画視聴はお申込フォームからお願いします。

名称 無料公開講座 グレブナー基底入門
講師 神戸祐太
日程

12月26日(日) 10:00-17:00(休憩1時間)

場所

Zoomによるオンライン講座となります。

教科書

講師によるオリジナルテキスト

受講料 無料
持ち物

・筆記用具
・教科書

その他 ・授業は録画されます。授業終了から2年間オンラインにて見放題となります(ダウンロード不可)。
・動画視聴のみの受講も可能です。お申し込みはページ下部より。アーカイブ視聴全般の詳細はこちら

お申込み

お申し込みは、以下のお申込フォームからお願いします。

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