常微分方程式から偏微分方程式へ
本講座では「そもそも微分方程式とは何か？」というところから始め、１変数を扱う常微分方程式をメインに終盤には多変数の偏微分方程式への導入を目指します。
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微分方程式入門
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講座概要
Overview
微分方程式は物理的な背景を持つものなど他分野に由来するものが数多くあり、とても広い応用をもつ分野のひとつです。
微分方程式は大きく
- 常微分方程式（1変数の未知関数の導関数に関する方程式）
- 偏微分方程式（多変数の未知関数の導関数に関する方程式）
の２つに分けられます。これらを比較すると変数の少ない常微分方程式の方が扱いやすいことも多く、偏微分方程式は解を明示的に表すどころか解が存在しないことも珍しくありません。
本講座では「そもそも微分方程式とは何か？」という基本事項から始め、常微分方程式をメインに終盤には偏微分方程式への導入を目指します。
教科書
- 書籍
すうがくぶんかのオリジナルテキスト
- 送付方法
デジタルデータ（PDF）をメール添付にてお送りいたします
※ テキスト代は受講料に含まれています。
前提とする知識
受講にあたって微分積分の基本的な知識は前提とします。また、大学で学ぶ微分積分学、線形代数学を知っていれば、より深く講座を理解できます。詳しくは以下のとおりです。
- 高校数学の数学Ⅲの微分積分
- 線形代数学
- 微分積分学
連立常微分方程式を考える際には線形代数学で学ぶ固有値問題を利用することになるため、線形代数学が必要となります。
また，常微分方程式の解の存在と一意性を示す重要なものとしてピカール-リンデレフ(Picard-Lindelöf)の定理があります。この定理を考える際に大学初年等で学ぶ微分積分学で学ぶCauchy列などの知識が必要となります。こちらは必要に応じて講義内で説明する予定です。
カリキュラム
Curriculum
01微分方程式の基礎
最初に微分方程式がどういうものかを説明します。微分方程式の解を求めることを「微分方程式を解く」といいますが、微分方程式は解けるものばかりとは限りません。つまり、微分方程式は解が存在することは分かっても、解の形がどうなるか分からないものもたくさんあります。
しかし、微分方程式が解けないからといって、解がどうなっているか分からないわけではありません。このセクションでは具体例を交えつつ微分方程式の考え方を説明します。
02解ける常微分方程式
微分方程式は必ずしも解けるわけではありませんが、微分方程式が解ける場合には解を明示的に表せることも大切です。そこで、解ける常微分方程式を
- １階常微分方程式
- 高階常微分方程式
に分けて説明します。このセクションは具体的に微分と積分を用いて微分方程式を解く実践的な内容なので、演習時間も確保する予定です。
03連立常微分方程式
以上では微分方程式は全て単一の微分方程式を考えていますが、ここでは
右図の形の連立微分方程式を考えます。一般に\(n\)個の未知関数に関する\(n\)本の連立微分方程式の場合には、\(n\)次正方行列の問題に帰着させることで微分方程式を考えることができ、解の挙動を\(n\)次元空間の曲線で図示することができます。
このセクションでは線形代数学の復習をしつつ、\(n=2\) の定数係数の場合の解を分類します。
04常微分方程式の解の存在と一意性の定理
最先端の研究で扱われるような微分方程式には解を求めることが極めて困難なものが多くあります。そのような微分方程式を考える際は、解の形を求めることは諦めて
- 解は存在するか
- 解が存在するなら一意に定まるか
といったことを考えます。このセクションでは微分積分学の復習をしつつ、常微分方程式における解の存在と一意性の基本定理であるピカール-リンデレフの定理の証明を目標に進めます。
05偏微分方程式への導入
最後に偏微分方程式に関するさまざまなトピックを取り扱います。例えば
- ２変数２階偏微分方程式の分類（双極型、放物型、楕円型）
- 様々な偏微分方程式（波動方程式、熱方程式、ラプラス方程式など）
- 発展方程式の基本解（フーリエ変換による解法）
などを予定しています。
受講生の声
Voice
講座情報
Information
| 講座名 | 微分方程式入門 |
|---|---|
| 担当講師 | |
| 開講スケジュール |
日曜クラス : 13:00-15:00
2022年10月9日～2023年2月26日
12月25日、1月1日 日曜日は休講です。 |
| 受講方法 |
Zoomによるオンライン講座 |
| 教科書 | すうがくぶんかのオリジナルテキスト |
| 受講料 | 税込19,500円/月 |
| お支払い方法 |
クレジットカード支払いは本ページ下部「受講料のお支払いについて」よりお願いいたします。 |
| 準備物 | 筆記用具 |
特記事項
・授業は録画されます。録画（アーカイブ動画）は授業終了から5年間オンラインにて繰り返しご視聴いただけます。（ダウンロード不可）
・アーカイブ視聴のみの受講も可能です。お急ぎの方は、開講済みの講座のアーカイブ動画にてご受講いただけます。
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|---|---|---|
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| 講座名 | 動画内容 | 講師名 | 受講料 | |
|---|---|---|---|---|
| 微分方程式入門 2022年後期 |
全19回 （各120分） |
山本 拓人 | 19,500円/月（97,500円/5ヶ月一括） | |
| 微分方程式入門 2021年後期 |
全19回 （各120分） |
山本 拓人 | 19,500円/月（97,500円/5ヶ月一括） | |
| 微分方程式入門 2021年前期 |
全19回 （各120分） |
山本 拓人 | 19,500円/月（97,500円/5ヶ月一括） |
年度別 講座情報
| 年度 | 講座情報 |
|---|---|
| 2022年後期 | 大きな違いはございませんが、少しテキストを改訂しております。 |
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