手を動かしてまなぶ　フーリエ解析・ラプラス変換

ラプラス変換は関数を別の関数に変換する操作のひとつです．

ラプラス変換を用いると，例えば

\begin{align*}
y^{\prime\prime}(t)-y^{\prime}(t)-6y(t)=e^t\quad(t\in\mathbb{R})
\end{align*}

といった常微分方程式に初期条件

\begin{align*}
y(0)=1,\ y'(0)=2
\end{align*}

を課した初期値問題を簡単に解くことができます．

ここでは常微分方程式の初期値問題への応用を目標に，ラプラス変換の考え方・基本性質を紹介します．

ラプラス変換と同様に，フーリエ変換も関数を別の関数に変換する操作のひとつです．

フーリエ変換を用いると，例えば

\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t)=0\quad(t>0,x\in\mathbb{R})
\end{align}

といった偏微分方程式に初期条件

\begin{align*}
u(x,0)=f(x)
\end{align*}

を課した初期値問題の(形式的な)解を見つけることができます．

なお，この偏微分方程式は熱(伝導)方程式と呼ばれており，時間経過による熱の伝わり方を表す偏微分方程式として良く知られています．

ここでは空間\(\mathbb{R}\)上の偏微分方程式の初期値問題への応用を目標に，フーリエ変換の考え方・基本性質を紹介します．

フーリエ級数は関数を\(\sin\), \(\cos\)の和で近似した級数のことです．

フーリエ級数を用いると，例えば

\begin{align}
\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t)-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t)=0\quad(t>0,0\le x\le\pi)
\end{align}

といった偏微分方程式に初期条件

\begin{align*}
u(x,0)=f(x),\ \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x)
\end{align*}

と境界条件

\begin{align*}
u(0,t)=u(\pi,t)=0
\end{align*}

を課した初期値境界値問題の(形式的な)解を見つけることができます．

なお，この偏微分方程式は波動方程式と呼ばれており，時間経過による波の伝わり方を表す偏微分方程式として良く知られています．

ここでは有界区間上の偏微分方程式の初期値・境界値問題への応用を目標に，フーリエ変換の考え方・基本性質を紹介します．