はじめに複素数を平面上の点として扱う複素平面という考えを導入し，複素数の四則演算が複素平面上ではどのような動きに対応しているかをみていきます．

また，指数関数と三角関数をつなぐオイラーの公式 \( e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta \) について考察を深めます．ここで \(e^{i\pi}=-1\) という式の一つの解釈ができるようになります．

高校までの微分積分で扱う関数は実数を入れると実数が返ってくる実関数でしたが，複素解析で扱う関数は複素数を入れると複素数が返ってくる複素関数と呼ばれるものです．

ここでは今まで馴染みのあった \(x^2\) や \(\sin x\)，\(e^x\)，\(\log x\) といった関数を複素関数に拡張し，数関数としては現れなかった複素関数特有の性質をみていきます．

例えば， \(x\) が実数ならば \(|\sin x| \leq 1\) を満たしますが，\(z\) を複素数とすると \(|\sin z| > 1\)となってしまうことがあります．

微積分で習ったTaylor展開を思い出してみましょう．これは関数を級数で表そうというものでした．そしてTaylor展開の各項の係数は元の関数の微分によって定まっています．

ここでは複素関数の級数展開について考えてみます．実は正の指数の級数展開ができない関数でも，負の指数まで含めた級数に展開できる場合があります．

留数とはこの負の指数まで含めた級数に関する概念で，積分計算を簡単にしてくれます．この講義の最後に留数定理と呼ばれる重要な定理を使って，実積分ではとても大変だった
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^4}
$$
などの積分を計算します．