ベーシック圏論

この講座では、丸善出版から出版されている『ベーシック圏論』（T.レンスター著、斎藤恭司監修、土岡俊介訳）を教科書として、現代的な数学の広い範囲に関わる圏論について学びます。

「圏論は鳥の目で数学を俯瞰する」と教科書の序文にあります。圏論は、数学の様々な分野にわたって共通して現れるパターンを数学的に取り扱うための言語を提供します。また、圏論の考え方は、コンピュータ科学をはじめとする数学以外の分野でも利用されています。

使用する教科書のサブタイトルに普遍性からの速習コースとあるように、この講座では「普遍性」という概念を中心にして圏論についての基本的概念をコンパクトに紹介します。

圏論における中心的な概念である「普遍性」を簡単に説明します。例えば要素を一つしか持たない集合は「他の集合Xをどうとろうとも、Xからの写像がただ一つ存在する」という性質をもち、またそれによって特徴づけられます。つまり、集合たちの世界では「要素が一つしか持たない集合」を他の集合との関係によって記述できるのです。

このように、ある圏のある対象が他の対象とどう関係するかを記述する性質、いいかえるとある対象がある圏の中でどのような役割を果たすかを記述する性質のことを「普遍性」といいます。普遍性によれば、具体的な構成まで立ち入ることなくその対象を特徴づけることができます。この講座では、随伴、表現可能関手、極限という三つの見方を通して普遍性を学んでいきます。

圏論には数学の広い分野にわたって現れるパターンを抽象化するという特徴があり、そのためいろいろな数学的知識を持っているとより多くの具体例を理解できます。しかし全ての例を理解できるようになるのは難しく、教科書でも「すべての例を理解できるだけの数学的素養をもっていた学生はいなかったと思う．」とあるほどです。本講座では圏論の具体例を理解するために必要な知識についても時間の許す限り補足します。

この教科書では豊富な例や演習問題を通して基本的な概念を理解することができます。抽象的な数学を学ぶ上では様々な具体例について親しむとともに、数学的な事実を論理のみに基づいて証明していくことが必要です。演習問題については翻訳者による丁寧な解答がありますが、自分の書いたものが正しいのか間違っているのかというのはなかなか判断するのが難しいものです。この講座では、指定した演習問題を提出いただきそれ添削することで、数学的な証明を記述する能力を身につけていただくことを目指します。