応用圏論への招待（前半）

この講座では、『活躍する圏論―具体例からのアプローチ―』（B.フォン、D. I. スピヴァック著、川辺治之訳）を教科書として、圏論への入門的内容を解説します。教科書のタイトルにある通り、さまざまな現実的な問題において圏論が活躍する様子をお伝えし、またその可能性を探ることが目標です。

4月から8月に行う前期講座では『活躍する圏論』の第4章までの内容を扱います。第5章以降は10月開講の後期講座にて扱います。たっぷり時間をかけて基本的な例題や演習問題の解説を行いながら、抽象的な数学に馴染みの薄い方にも圏論に入門していただくことを目指します。

今回使用する上記教科書では、原著のタイトルにseven sketches in compositionalityとあるように、compositionality（合成性）についての7つのトピックを紹介しています。本前期講座ではこの7つのトピックのうち、生成的効果、資源理論、データベース、協調設計という4つのトピックを扱います。これらのトピックが具体的にどのような問題を扱うかを簡単に紹介します。

料理のように、いくつか材料から製品を作る工程を考えます。例えばカレーを作る際には、野菜や肉を下拵えし、煮込み、ルーを加え、米を炊き、盛り付けます。場合によっては購入したルーではなくスパイスから自作する場合もあります。これらを組み合わせることで、カレーを作るという工程が表現できます。このように、部分的な工程の合成として全体的な工程を捉える際に起こりうる問題について考えることがこの講座のテーマです。

大きなプロジェクトを実行する際に、小さなプロジェクトに分割しこれをいくつかのチームに割り当て、さらにチームのプロジェクトをそのチームに所属する各個人に割り当てます。実際には個々の作業が独立ではなく相互に依存関係を持つため、実際にこれらの作業を組み合わせて全体の作業が遂行できるかという問題が生じます。

会社において社員一覧表や部署の一覧表、オフィスの一覧表などさまざまな表を組み合わせたデータベースを扱います。複雑に組み合わされたデータベースに対してそれを書き換えるなどの処理を行うとき、データベースの整合性を損なわずに処理することは難しい問題です。

このように、何か現実的な問題を扱う際にその問題を分割し部分的に捉えた上で、それらの部分を合成して元の問題を扱うことはよくあります。このような状況を、右図のような結線図式を用いて表現することができます。

結線図式はモノイダル圏と呼ばれるタイプの圏におけるさまざまな計算や証明を視覚化するものです。現実的な問題に圏論を応用する上では、このモノイダル圏という概念が活躍します。図を用いた証明や計算という、お馴染みの数式を用いた数学とは異なった色合いの数学も楽しむことができます。

今回使用する教科書には、全体で約240問の練習問題が用意されています。本講座では、これらの問題ついても可能な限り演習の時間を設け解説を行います。練習問題の解答は教科書にもありますが、自分の書いた解答が正しいのか間違っているのかを判断するのは難しいものです。この点を補うために、提出いただいた解答を講師が添削いたします。実際に手を動かして学ぶ（本書の言葉を借りるなら、バスから降りて地元民やその地方の建築物と直接触れ合う）助けとなるよう講座を進めていきます。