ガロア理論 特別講義（加藤文元先生）

— 体と代数方程式の基本を解説し「方程式のガロア群」の直観的な理解に触れます。

第1回 代数方程式（第1章）
第2回 既約多項式（第2章1節）
第3回 代数拡大（第2章2節）
第4回 最小分解体と根の置換（第3章1節〜2.1節）

体とは有理数全体や複素数全体のように、四則演算（たし算・引き算・かけ算・割り算）で閉じた体型のことです。代数方程式とは、中学や高校の数学でも扱う2次方程式や3次方程式のような「xの多項式=0」という形の方程式のことです。これらについて復習も兼ねて基礎的なことを学び、ガロア理論の内容の先取りとなる「ガロア群」の直観的理解に達します。

— ガロア群の概念から始めて、群論の基本を解説します。

第5回 方程式のガロア群（第3章2.2節以降）
第6回 群（第4章1節）
第7回 対称群の話(1)（第4章2節）
第8回 部分群とコセット分解（第4章3節）

ガロア群は「四則演算と両立的な根の置換の群」ですが、よりフォーマルには最小分解体の自己同型群という形をとります。ガロア群から話は群論へと導かれます。抽象的な群を導入し、対称群（文字の置換の群）で具体的な計算例に多く触れながら、コセット分解など群論の基礎を固めます。

— 正規部分群など群論の履修し、それを踏まえて体の自己同型の基本を解説します。

第9回 準同型と正規部分群（第5章1節）
第10回 対称群の話(2)（第5章2節）
第11回 正規部分群と剰余群（第5章3節）
第12回 体の自己同型（第6章1節）

ガロア理論においてもっとも重要な群論的概念は正規部分群の概念と、それに伴う剰余群の概念です（これらはラグランジュに対してガロアが圧倒的に優位だった点です）。これに体の自己同型群と体の要素の関わり（共役概念など）についての基本を加味して、ガロア理論への入門に必要な前提を締めくくります。

— ガロア拡大の概念を導入し、ガロア理論の基本定理（ガロア対応）を解説します。
　
第13回 ガロア拡大とその構造（第6章2節）
第14回 ガロア群とガロア拡大（第7章1節）
第15回 ガロア対応（第7章2節）
第16回 ガロア対応と3次方程式（第8章）

ガロア理論のもっとも中心的な定理である「ガロア理論の基本定理」を解説します。ガロア理論の基本定理とは、ガロア群の部分群とガロア拡大の中間体との間の（さまざまな構造を保つ）1対1対応（ガロア対応）を記述する定理です。ガロア理論が美しいと言われる理由のもっとも重要な部分が、このガロア対応の美しさにあります。

— ガロア対応を代数方程式の代数的可解性の問題や作図問題に応用します。

第17回 べき根拡大（第9章）
第18回 方程式の可解性（第10章）
第19回 アーベル・ルフィニの定理（第11章）
第20回 作図問題（第12章）

ガロア理論のもっとも重要な応用は、そもそもガロア理論の動機だった「代数方程式の代数的可解性の問題」です。「5次以上の一般代数方程式は代数的な解の公式をもたない」というアーベル・ルフィニの定理も、ここから出てきます。最後に、もう一つの重要な応用である古代ギリシャからの「作図問題」の解決について解説します。