ルベーグ積分入門

高校数学では区分求積法という考え方の求積法を学びます．しかし，区分求積法は少々特別な求積法のため連続関数を主に扱う高校数学では通用するものの，連続関数以外も対象となるより広い積分においては良い方法とは言えません．リーマン積分は区分求積法の考え方をより広い関数にも適切に定義できるように考えたものとなっています．

本講座はリーマン積分の復習から始め，本講座メインテーマであるルベーグ積分とどのように違うかを説明します．その際，本講座ではどのような道筋をたどってルベーグ積分を考えていくのかも説明します．

このように，ルベーグ積分においては「集合の長さ」を考えることが重要です．例えば「区間[0, 1] の長さ」を1 といえることは直感的に理解できますが，「区間[0, 1] 上の有理数の集合の長さ」はどうなるでしょうか？

日常の感覚では有理数の集合という「まばらな集合」に対して「長さ」を考えることは難しいですが，数学ではこのような集合にも「長さ」に相当するものを考えることができます．詳しく言えば，この「長さ」はルベーグ測度というものを用いて考えることになります．その際，どんな集合でもルベーグ測度を用いて「長さ」を測ることができるわけではなく，「長さ」を測ることができる集合として可測集合を定義します．この可測集合とルベーグ測度はルベーグ積分のベースになる非常に重要なところで，このセクションでは「可測集合とルベーグ測度をどのように定めるか」というところを測度論の考え方も踏まえつつ説明します．

リーマン積分は「縦切り」によって面積を求めようという考え方をしていた一方で，ルベーグ積分は「横切り」によって面積を求めようというアプローチを採ります．

有界閉区間においては，リーマン積分可能な関数は必ずルベーグ積分可能であることが知られており，この意味でルベーグ積分はリーマン積分の拡張であるといえます．このセクションでは可測関数を定義して基本的な性質を述べたあと，ルベーグ積分の定義と基本性質を説明します．

解析学(微分と積分を主に扱う分野) では極限と積分の順序交換をしたい場面はよくあり， 極限と積分の順序交換ができることを項別積分可能であるといいます．

ルベーグ積分での項別積分可能であるための条件を述べた述べた定理をルベーグの収束定理といいます． この条件はリーマン積分よりかなり扱いやすいものとなっており，これがルベーグ積分を学ぶ1つの大きなメリットとなっています.このセクションではルベーグの収束定理の証明を目指し，具体的にルベーグの収束定理の使い方をみます.