線形代数続論-固有値と固有ベクトルの応用-

行列の計算や基本変形、ランクなどの概念に加えて、固有値や固有ベクトルは線形代数を学ぶ上での一つの目標です。固有値や固有ベクトルの考え方は様々な場面で活用される非常に重要なものですが、初めて勉強するときにはなかなかそこまでたどり着けずに終わってしまうことも多いと思います。

そこで、本講座では固有値や固有ベクトルがどのように他の数学と関係し、また応用されるかについて、以下の三つのテーマを扱うことで概観しようと思います。このような数学や数学以外の分野における複数の応用を通して学ぶことによって、抽象的な数学がいかに強力であるか、そして線形代数や固有値の考え方が有用であるかを実感していきたいと思います。

1.二次形式の標準化
楕円や双曲線、放物線などは円錐曲線と呼ばれ、全て二次式を用いて表すことができます。また多変数関数の極値問題でへシアンというものが出てきますが、これを調べることである点で関数が極大値、極小値をとるのかを判定できます。また、多変量解析におけるひとつの手法として主成分分析があります。これらはいずれも、二次形式の標準化という視点で捉えることができますが、これは行列の固有ベクトルを求めることで実行可能です。

2.数列と微分方程式の漸近挙動
マルコフ連鎖の遷移行列と定常分布について、固有値を用いて求めることができます。同じようにバネの運動方程式は線形微分方程式ですが、固有値を求めることでこのバネの挙動を捉えることができます。またグーグルの検索順位を決めるページランクを求めるアルゴリズムでもこの考え方が用いられていますので、それについても紹介します。

3.無限次元の線形空間
フーリエ級数展開やフーリエ変換は数学の応用上非常に重要な道具ですが、これらも実は固有値や固有ベクトルに深く関連した概念です。これらは、「関数」を「ベクトル」として扱い、「微分」を「行列」とみなすという考え方に基づいています。関数解析と呼ばれる関数を対象とした「無限次元の線形代数」にも入門してみたいと思います。