対称性と機械学習

群の基本事項を、具体例を豊富に用いながら体系的に学びます。
群の定義と具体例から始まり、部分群、準同型・同型、剰余類、正規部分群と商群、群作用までを扱います。
さらに Appendix から準同型定理について証明付きで学びます。

群論は歴史的にも、群を「対象に作用させる」という発想から発展してきました。
ここでは群作用と表現の基本概念を導入し、抽象的な対称性を線形代数（行列・線形変換）の枠組みで扱う方法を学びます。
また、 Appendix から正則表現とその分解の考え方、さらに線形変換と表現が可換になる写像としての交絡作用素について学び、同変性との関係を明確にします。
最後に、これ以上分解できない最小単位としての既約表現の概念を導入し、表現の分解という見取り図を整えます。

連続対称性を扱うために、リー群・リー代数の基本概念と、両者を結ぶ指数写像の考え方を学びます。
SO(2)・SO(3) など教科書に掲載されている具体例を丁寧に追うとともに、周辺分野で現れる例も適宜引用し、同じ枠組みがどのように現れるかを比較しながら理解を深めます。

不変性・同変性を、群作用の言葉で定式化します。軌道集合、商仮説空間、等質空間、安定部分群といった概念を用いて数学的に整理します。
また、機械学習側の前提としてニューラルネットワークの基本事項も必要な範囲で導入し、群作用に整合する構成へ自然につなげます。
最後に、群畳み込みを通じて「同変性を満たす写像の構成原理」を学び、以降の同変ニューラルネットワークの理解に必要な枠組みを整えます。

前回までで定式化した同変性を、ニューラルネットワークの構成にどう落とし込むかを理論面から学びます。
まず並進群に同変なネットワークとして「畳み込み」の概念を整理し、次に回転・スケーリングなどを含むアフィン群に同変なニューラルネットワークへ一般化します。
また、同変性を満たすためにフィルタ（カーネル）にどのような制約が必要になるかを条件式として追い、代表的な既存研究の考え方も概観します。

リー群の枠組みで同変性を扱うための理論（群の分解、誘導された作用、リー微分など）を学び、同変となる条件を定理・条件式として捉えます。

同変条件を満たす写像をどのように構成・分類できるかを、制約の構造や自由度の考え方とあわせて理論中心に扱います。
また、離散群・連続群それぞれの場合に対称性を促進する考え方も整理し、機械学習の議論へ接続します。
さらに、代表的な具体例については実際に手を動かして計算し、条件式がどのように働くかを確認します。

クリフォード代数・幾何代数を導入し、回転や反射を統一的に扱う枠組み（Pin / Spinなど）に触れます。
ユークリッド同変性と表現の関係を整理し、対称性を扱う数学の見通しを広げます。