【無料公開講座_2021】群論入門講座

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講座の概要

代数学の一分野である群論は対称性の研究に端を発する学問です。線対象や点対称といった図形の対称性に留まらず、数学において対称性が重要な役割を担う場面は多くあります。実際、群論の源流となったのは対称性とは一見無関係な代数方程式の解に関する研究です。

この講座では、群論の初歩から始めて、有限群の分類を目標に講義を行います。登場する概念の定義や定理の証明は抽象的なものになりがちですが、なるべく多くの具体例を観察し、理解を深めていけるようにカリキュラムは設計されています。また群論の各種定理、準同型定理やSylowの定理のような定理を用いることによって問題を解決していく、抽象数学の威力を味わっていただくこともこの講座の目標です。

受講にあたって

受講にあたって役に立つ知識
行列の基本的な計算
合同式の計算

カリキュラム

1 . 群の定義と例

対称性をキーワードに群の概念を導入します。また整数全体のなす群、置換群、巡回群、二面体、四元数群、一般線形群など、具体的な群を紹介します。

2. 準同型定理、ラグランジュの定理、Sylowの定理、有限群の基本定理

目標である有限群の分類に必要な定理を紹介し、可能な限り証明を与えます。
群の中でも有限群を研究するときに重要な役割を果たすのがSylowの定理です。本講座の目標のように群の位数が与えられている場合には特に有用で、この後何度も登場します。他にもラグランジュの定理など、有用な定理を紹介する予定です。

3. 有限群の分類

有限群の分類を行います。位数を素因数分解した形によって概ね難しさが決まってきます。素数位数の場合が最も簡単で、異なる2素数の積であるような場合も比較的簡単です。一方で2の累乗の場合は非常に複雑な様子になっています。
このような有限群の分類を位数16までを目標に行います。

講座詳細

お申込み

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