ルベーグ積分入門

2021年10月開講分、お申込み受付中です。こちらからお申込みいただけます。

講座の概要

多くの理系大学生は1年でリーマン(Riemann)積分を学びます。リーマン積分は定義が単純で直感的に理解しやすい積分となっていますが，専門的な内容になってくるとリーマン積分では扱いづらくなることも少なくありません．そこで，より数学的に扱いやすい積分としてルベーグ(Lebesgue) 積分があります．

本講座では「リーマン積分に対してルベーグ積分がどのような積分なのか」というイメージから始め，ルベーグ積分の理論をイチから説明し，種々の性質を数学的にきちんと扱っていきます．

受講にあたって

教科書について

テキストは「ルベグ積分入門」(吉田洋一著/ちくま学芸文庫) を使用し，本書に沿って授業を進めます．

第I 章でルベーグ積分の序論，第II 章で本書で必要となる集合論等の知識が解説されており，初心者向けに必要な予備知識から丁寧に書かれています．

役立つ知識

ルベーグ積分を理解するためには集合論と微分積分学の基本的な知識を必要としますが，これらは授業内で説明する予定です（テキストでも説明されています）．そのため，これらを受講前に知っておくことは必須はありません（が，知っていればより深く講座内容を理解できます）．

カリキュラム

本講義では，以下の内容を扱う予定です．

1　リーマン積分からルベーグ積分へ

高校数学では区分求積法という考え方の求積法を学びます．しかし，区分求積法は少々特別な求積法のため連続関数を主に扱う高校数学では通用するものの，連続関数以外も対象となるより広い積分においては良い方法とは言えません．リーマン積分は区分求積法の考え方をより広い関数にも適切に定義できるように考えたものとなっています．

本講座はリーマン積分の復習から始め，本講座メインテーマであるルベーグ積分とどのように違うかを説明します．その際，本講座ではどのような道筋をたどってルベーグ積分を考えていくのかも説明します．

2　集合論の準備

ルベーグ積分は測度論というより広い分野に属します．測度論は「集合の『長さ』や『頻度』」といった「集合の『元(要素) の量』」を測る分野で，ルベーグ積分の他に確率論も測度論に属します．

このためルベーグ積分を学ぶためには集合についてよく知っている必要があります．本講座ではルベーグ積分を扱う上で重要な集合論の基礎知識をここで解説します．

3　可測集合とルベーグ測度

このように，ルベーグ積分においては「集合の長さ」を考えることが重要です．例えば「区間[0, 1] の長さ」を1 といえることは直感的に理解できますが，「区間[0, 1] 上の有理数の集合の長さ」はどうなるでしょうか？

日常の感覚では有理数の集合という「まばらな集合」に対して「長さ」を考えることは難しいですが，数学ではこのような集合にも「長さ」に相当するものを考えることができます．詳しく言えば，この「長さ」はルベーグ測度というものを用いて考えることになります．その際，どんな集合でもルベーグ測度を用いて「長さ」を測ることができるわけではなく，「長さ」を測ることができる集合として可測集合を定義します．この可測集合とルベーグ測度はルベーグ積分のベースになる非常に重要なところで，本講座では「可測集合とルベーグ測度をどのように定めるか」というところを測度論の考え方も踏まえつつ説明します．

4　可測関数とルベーグ積分

リーマン積分は「縦切り」によって面積を求めようという考え方をしていた一方で，ルベーグ積分は「横切り」によって面積を求めようというアプローチを採ります．その際，この「横切り」によるルベーグ積分を上手く考えられる可測関数を定義します．

連続関数など多くの関数が可測関数なので，かなり多くの関数に対してルベーグ積分を考えることができます．なお，有界閉区間においては，リーマン積分可能な関数は必ずルベーグ積分可能であることが知られており，この意味でルベーグ積分はリーマン積分の拡張であるといえます．本講座では可測関数を定義して基本的な性質を述べたあと，ルベーグ積分の定義と基本性質を説明します．

5　ルベーグ積分の収束定理

解析学(微分と積分を主に扱う分野) では極限と積分の順序交換をしたい場面はよくありますが，いつでもできるとは限りません．そこで，極限と積分の順序交換ができることを項別積分可能であるといいます．

このことから，項別積分可能であるための十分条件があると嬉しいわけですが，実際その条件はリーマン積分でもルベーグ積分でもよく知られています．しかし，リーマン積分の条件よりもルベーグ積分の条件の方が扱いやすく，このことを述べた定理をルベーグの収束定理といいます．これがルベーグ積分を学ぶ1 つの大きなメリットとなっています．本講座ではルベーグの収束定理の証明を目指し，具体的にルベーグの収束定理の使い方をみます．なお，ルベーグの収束定理を用いることで，上で述べたように「リーマン積分可能な関数は必ずルベーグ積分可能であること」を証明することができます．

受講詳細

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お申込み

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※お手数ですが、講座名について『ルベーグ積分入門』を選択のうえ送信をお願いします。

開講スケジュール

12月19日、1月2日は休講です。