【無料公開講座2022】大学数学入門「イプシロンデルタ論法と中間値の定理」

この講座では、大学数学への入門としてεδ論法や中間値の定理を通して論理的に数学を記述することについてお話しします。新しい現象を説明するのではなく、すでにお馴染みの実数、連続関数、極限、指数関数などについてより論理的に厳密に記述していきます。

目標である中間値の定理は以下のようなものです。

実数 a, b が a < bであるとし、f(x) を a, b を含む区間で定義された連続関数であるとする。これに対し、f(a) < 0 かつ f(b) > 0 であるとき、x 軸上に f(c) = 0 となりa < c < bを満たす点 x = c が存在する。

この定理を証明せよといわれても、当たり前にみえて何をすればいいのかわからないと感じる方も多いでしょう。連続関数とはグラフが切れ目ない曲線であることで、x軸とは実数が切れ目なく並んでいる数直線であり、切れ目ないものと切れ目ないものが交わるのは直感的には当たり前と感じます。何を証明すればよいのかわからないのは、定義がはっきりしないことやそもそも数学の証明とは何をするものかがわからないということが一つの理由でしょう。そこで今回の講座では、実数や連続関数という概念を数学的な意味で厳密に定義し、その定義から論理的に上の定理を証明することを目指します。また、そのように論理的に記述することにより、さらなる抽象化の土台となることも説明します。直感的な理解と厳密な論証は数学を学ぶ上で相補的であり、連続関数の εδ 論法による定義を通してその両面を学んでいきましょう。

数学における論理を表現するために重要な道具が量化子です。量化子とは「すべての x」や「x が存在する」という文を表現するためのもので、「すべての」には ∀ という記号が、「存在する」には ∃ という記号が用いられます。この講座では、量化子を用いた論理を土台として、集合や写像により数学的対象を記述するということについても解説していきます。

εδ 論法をはじめとして、微積分では不等式が頻繁に出てきます。高校までの不等式は、仮定と同じ形に変形する、平方完成する、有名な不等式と同じ形に帰着する、などで証明できるものが多いでしょう。しかし、微積分で現れる不等式を証明する際には、量化子付きの仮定からうまく不等式を作り出すなどの操作が必要なため、慣れないと難しいものです。今回の講座では、この点についても丁寧に説明します。

εδ 論法を用いて関数の連続性や極限を定義することの実用上の利点は、複数の変数の極限を同時に考える場合などに収束の様子を正確に表現できることにあります。例えば連続関数列の極限が連続となることや、連続関数が積分できることの十分条件として、一様収束や一様連続などの概念があり、これらは εδ 論法を用いることで通常の収束や連続性との違いが明確になります。今回の講座では一様収束や一様連続性については扱わないので、またの機会をお待ちください。