フーリエ解析入門

最初にフーリエ級数がどのようなものか説明します．

フーリエ級数に関する重要な定理を紹介し，その使い方の具体例を見てフーリエ級数の面白さを感じられるように授業を進めます．

例えば，フーリエ級数を用いることで

$$
\begin{align*}
&\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\dots=\frac{\pi^{2}}{6},\\
&\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+\dots=\frac{\pi^{2}}{8}
\end{align*}
$$

などの有名な等式が得られることを紹介します．

「周期関数\(f\)を三角関数\((\sin, \cos)\)の和で近似する」ものがフーリエ級数であると説明しましたが，三角関数を用いなくても関数を近似する方法はいくつもあります．

しかし，様々な関数の近似の中でもフーリエ級数はある意味で「最良な近似」になっていることが証明できます．

ここではフーリエ変換が\(L^{2}\)ノルムで最良の近似であることを証明し，このことから得られる「パーセヴァルの等式」や「リーマン-ルベーグの定理」などフーリエ級数に関する重要な性質を紹介します．

フーリエ級数による近似可能性の証明(テキスト第５章，第６章)

「フーリエ級数の性質」まではフーリエ級数に馴染むため，関数がフーリエ級数で表せることの証明はしませんでした。

ここでは関数がフーリエ級数で表せることを証明していきます．

ここでの議論には関数列の一様収束など微分積分学で学ぶ重要な定理を用いるので，必要に応じて予備知識を補足しながら進めていきます．

ここでは最初に偏微分方程式の基本的な考え方を説明し，フーリエ級数を偏微分方程式(熱方程式，波動方程式)の初期値・境界値問題へ応用します．

熱方程式の解法ではフーリエによる方法により，熱方程式の初期値・境界値問題

$$
\begin{align*}
\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial t}(x,t)=C\dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x,t)&(0<x<\ell,t>0)\\
u(x,0)=u_{0}(x)&(0<x<\ell)\\
u(0,t)=0, u(\ell,t)=0&(t>0)
\end{cases}
\end{align*}
$$
を解き，エネルギー法による解の一意性を示します．

また，波動方程式も同様にフーリエの方法を用いて初期値・境界値問題が解けることを説明します．

ここまでフーリエ級数を用いた応用をいくつか紹介してきましたが，フーリエ級数を用いて関数を近似するには関数が周期関数でなければならないという欠点があります．

その欠点を解消するために考えられたのがフーリエ変換です．

フーリエ変換は周期関数でない関数に対してのフーリエ級数に相当するもので，フーリエ級数で成り立つ多くのことがフーリエ変換に対しても成り立ちます．

ここではフーリエ級数で成り立つ定理と比較しながら，フーリエ変換の性質を紹介し，境界がないような偏微分方程式に対しての応用を紹介します．