【無料公開講座2023】集合・位相入門の入門

集合とは素朴には「モノ(数学的対象)をパッケージしたもの」のことで、例えば

• 整数全部の集合\(\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\)
• 有理数全部の集合\(\left\{\dots,-\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{5}{12},-2,\displaystyle\frac{2}{3},\dots\right\}\)
• 集合\(\{1,2\}\)の部分集合全部の集合\(\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\)

など様々なものが考えられます。

集合は「数学の言葉」とも言えるものなので、集合の表し方などの基本事項を理解しておくことは重要です。

このセクション１では集合の基礎事項を説明します。

中学数学で学ぶ比例に始まり、高校数学まで様々な関数を学びます。例えば、

\begin{align*}f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x+1\end{align*}

で定まる関数\(f\)は１次関数と呼ばれますが、この１次関数\(f\)は「実数\(x\)を\(f\)に放り込むと、実数\(\displaystyle\frac{1}{2}x+1\)を対応させる規則」ということができます。

この１次関数のように「数をある規則に従って対応する数を返してくれる規則」を一般に関数といいます。

さて、数学では「数」でないものを変換したいこともよくあり、「数とは限らないものも対応させる規則」を一般に写像といいます（そのため，関数は写像の一種といえますね）。

このセクション２では写像の定義から始めて，写像の基礎事項を説明します。

問題です。

• 正の整数全部からなる集合\(A=\{1,2,3,4,\dots\}\)
• 正の偶数全部からなる集合\(B=\{2,4,6,8,\dots\}\)

ではどちらの方が要素が多いと言えるでしょうか？

集合\(B\)は集合\(A\)から奇数を間引いてできた集合なので「集合\(A\)の方が多い」と思えそうですが，集合\(A\), \(B\)の要素は

とピッタリ対応させることができるので、実は集合論では「集合\(A\), \(B\)の要素の多さは同じ」と考えます。

このように、2つの集合の要素で漏れなく重複なくペアを作れるとき、それら2つの集合は濃度が等しいといいます。

このセクション３では集合の濃度の考え方を、セクション２で準備した写像の知識を用いて解説します。

それでは

• 有理数全部の集合\(X=\{\dots,-\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{5}{12},-2,\displaystyle\frac{2}{3},\dots\}\)
• 無理数全部の集合\(Y=\{\dots,\sqrt{2},\pi,e,\log_{2}{5},\dots\}\)

を考えたとき，\(X\), \(Y\)は濃度が等しいでしょうか？

実は\(X\), \(Y\)の要素はピッタリ対応させることができず、\(X\)より\(Y\)の方が濃度が大きいことが証明できます。
つまり、「有理数よりも無理数の方が多い」と言えるわけですね。

この証明のためにはカントールの対角線論法を用いる方法が有名です。

このセクション４ではカントールの対角線論法を用いた集合\(X\), \(Y\)の濃度差の証明を解説します。