この章では、確率とその基礎である場合の数について学びます。場合の数は、ある条件を満たすものがいくつあるか数える事が関心事です。数えるというのは単純なようでいて、実は大変難しいことです。効率よく数え上げる方法について皆さんと共に考えてみたいと思っています。

章の後半では確率について考えます。まずは、いくつかの典型的な問題を通して確率の計算に習熟してもらいます。また、ここでは条件つき確率やベイズの定理といった昨今の統計学・機械学習の基礎になっているものも登場します。

ひと昔前？ふた昔前？は「整数論は数学の女王」という言葉がありました。これはガウスが言ったそうですが、女王は召使を働かせることはあっても自分は働かないことから、美しいけど使えない(現実に応用できない)数学であるということをさした言葉です。しかしこの状況はコンピュータの登場で一変します。今では女王は一番の働き者です。

まずは約数や倍数といった基本的な性質から出発し、コンピュータの原理にもなっているn進法の概念を紹介します。

関数の概念は、数学を学ぶ上で最も重要なものの一つといって良いでしょう。ここでは２次関数を色々と調べることが目的です。二次関数は座標平面上では放物線という図形として描かれますが、この二次曲線の性質は皆さんの生活になくてはならないものと関連しています。

中学校で相似(拡大縮小で重なり合う図形)という図形のもつ性質について学びました。これをさらに発展させると三角比、三角関数の概念に行き着きます。

三角比の分野は、とにかく嫌いだった！sin, cos, tanという言葉の響きだけでもう嫌！という人が多いかもしれません。この分野では似たような公式が大量にあって、それを全て覚えないといけないかのように思っている人が多いからではないでしょうか。その学習の仕方は間違いで適切な式変形をすることで、少数の原理から全て導く事ができる事を示したいと思っています。

数学は集合と論理によって記述されています。ものの集まりとして集合を考えること(素朴集合論)とその運用法を学びます。また、数理論理学の基礎である命題論理、述語論理について学びます。なにやら難しそうな感じですが、我々が普段何気なく用いている論理を見直すきっかけになると思います。章の締め括りには、以下のような、ラッセルのパラドックス(ツェメロのパラドックス)について考え、集合と論理の深淵な世界に足を踏み入れてみましょう。

自分自身を引用していないような本全てを一覧にした(引用した)本Bを作ることを考える。BはBを引用するのか？