数学講座
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開講予定
本講座では、戸田山和久著『論理学をつくる』（名古屋大学出版会）をテキストに、論理学の入門的な内容を入り口から学んでいきます。論理学におけるシンタクス（構文論）とセマンティクス（意味論）という二つの観点を学び、これらの関係を述べる完全性定理を理解することが目標です。
論理的とよくいうけれどそもそも論理ってなんだろう、という疑問に対して、一つの答えを与えてくれるかもしれません。
一般的に言われる「論理的に考える」ということに対しては、もしかしたら全く役に立たないのですが、コンピュータや人工知能が発展していく現代に、論理について改めて考え直してみませんか。
この講座では特別な数学的な知識は必要としません。どなたでも論理というものに興味を持つ方であれば受講を歓迎します。
※2025年度前期（4月-1月）のご受講についてお申し込み受付中です。アーカイブ視聴による参加、途中参加も可能です。
この講座では、論理とは何か、また論理学はどのような問題を扱うのかについて、論理学を少しずつ作り改良していく過程を通して学びます。命題論理や述語論理といった体系において、シンタクスとセマンティクスという二つの観点を用いて論理を記述し、これらの二つの観点を結びつける完全性定理を学ぶことを目標にします。
前半（第1期～第3期）では、まず命題論理から学習を始めます。人工言語Lを導入し、命題論理の構文論（シンタクス）を学び、論理式や論証の基礎を固めます。続いて意味論（セマンティクス）に進み、命題の真偽判定や論理的帰結の概念を理解します。さらに、コンパクト性定理を学び、タブローの方法を用いた論理式の矛盾判定や論証の妥当性の判定手法を習得します。
中盤（第4期～第6期）では、より表現力の高い述語論理へと発展させていきます。人工言語MPLを導入し、命題の内部構造や量化子を扱う方法を学びます。述語論理のシンタクスとセマンティクスを学んだ後、多重量化や同一性記号を扱うPPL、IPLへと段階的に拡張し、より豊かな論理表現を可能にしていきます。また、決定不可能性という新たな論理学的課題についても考察します。
後半（第7期～第10期）では、まず自然演繹という推論の手法を学び、前提から結論を導く過程の構成法を習得します。続いて、命題論理の完全性定理を通じて、シンタクスとセマンティクスの関係を深く理解します。さらに、多値論理、ファジー論理、直観主義論理、様相論理といった非古典論理の世界を探究し、最後に関数記号、述語論理の完全性、高階論理といった発展的なトピックスまで視野を広げます。
論理学の教科書では珍しく、本講座では論理体系を「つくる」という視点を重視します。単に既存の体系を学ぶのではなく、なぜそのような体系が必要とされ、どのように構築されていくのかを理解することで、論理学をより本質的に理解することを目指します。たくさんの演習問題が用意されているので、それらに取り組む時間もたくさん設けます。実際に手を動かして、論理学をつくる過程を体験することで、論理学をより深く理解しましょう。
論理学とは何をする学問なのかを体感する
特になし
まずは論理とは何か、論理学では何を問題とするのかについて簡単に紹介します。その上で、論理について考えるための題材として人工言語Lを導入します。これは命題論理と言われるもので、個々の命題の具体的な意味を考えず、それらを用いてどのような論証が可能かを考えるための言語です。この人工言語のシンタクス、つまり文法あるいは構文規則を与えます。それによって、論理式や論証とは何かを明確にします。
前の章で作った人工言語Lについて、どのように意味を与えるか、つまり命題論理のセマンティクス、日本語で言えば意味論を扱います。ここでは、命題の真偽にどう関わるかという観点から論理式の意味を規定します。また論理的帰結、矛盾、論理的真理、などの概念やそれらの妥当性について考えます。
論理や論理式に関する性質や事実を導くために重要である、コンパクト性定理と呼ばれる定理を学びます。また、意味論的タブローの方法という、論理式の集まりが矛盾するか、あるいは論証が妥当かを機械的に判定する方法を導入します。
ここまでに扱ってきた人工言語L、つまり命題論理を拡張して、人工言語MPLをつくります。人工言語Lでは命題の内部構造を考えなかったが、MPLでは命題の内部構造を考えます。またそれとともに「すべての」とか「ある」といった量化子を導入します。これが述語論理と呼ばれる論理です。この述語論理のシンタクス、、つまり構文規則を与えることが目標です。さらにこの述語論理にもタブローの方法を拡張し、述語論理の論理式の集まりが矛盾するか、あるいは述語論理の論証が妥当かを機械的に調べる方法を導入します。
述語論理のセマンティクスを導入します。そのために変数の動く範囲を決めるためのモデルという概念とそれを用いて論理式の真偽を定義します。
MPLをさらに拡張したた人工言語PPL、さらにさらにそれを拡張した人工言語IPLをつくります。PPLでは多重量化、つまり複数の変数に対する量化を考えます。さらにIPLでは同一性の記号、つまり等号を導入します。このように拡張した言語に対するタブローを導入した上で、決定不可能性という新たな問題が生じることを観察します。
これまでタブローなどを用いて行なっていたのは、与えられた論証が妥当であるかどうかを評価する手続きであった。ここでは妥当な論証を構成する手続きとして、自然演繹と呼ばれる手法を学ぶ。これは正しさの判定ではなく、前提から結論を導く過程を構成する手続きである。この手続きを学び、習熟するのがここでの目標になる。
前半ではセマンティクスの観点から論理的帰結、矛盾、論理的真理を捉えてきたが、シンタクスの観点から論理的帰結、矛盾、論理的真理をどう捉えるかについて考える。このために、前章で学んだ自然演繹を用いる。その上で、命題論理においてシンタクスによる論理の記述とセマンティクスによる論理の記述が一致すること、つまり命題論理の完全性定理を学ぶ。
さまざまな非古典論理体系を紹介する。排中律についての考察から、多値論理やファジー論理、直観主義論理、様相論理などを学ぶ。
古典論理の話題をさらに深める。関数記号を導入した人工言語FOLについて、述語論理の完全性について、1階の理論、ロビンソン算術、非標準的モデル、2階の論理などを学ぶ。
| 講座名 | 論理学をつくる |
|---|---|
| 担当講師 | |
| 開講スケジュール |
月曜クラス：20:00-22:00 第1期：04/07, 04/14, 04/21, 04/28 支払い期日：04/14 |
| 受講方法 |
Zoomによるオンライン講座 授業は録画されます。録画（アーカイブ動画）は授業終了から5年間オンラインにて繰り返しご視聴いただけます。（ダウンロード不可） 詳細はこちらのページをご確認ください。 |
| 教科書 | 戸田山和久著『論理学をつくる』（名古屋大学出版会） |
| 受講料 | 税込19,500円/期（税込195,000円/10期一括） |
| お支払い方法 |
クレジットカード支払いは本ページ下部「受講料のお支払いについて」よりお願いいたします。 ※はじめて本講座をご受講いただく方はお申し込み・お問い合わせフォームよりご連絡ください。事務局より受講に関するご案内やお支払い方法の詳細をお知らせいたします。 |
| 準備物 | 教科書 |
| その他 | 初回講義での体験受講が可能です。 |
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