多様体入門

多様体というのは、高次元の空間を扱うための数学的な枠組みの一つです。この講座では多様体について、イメージの掴みやすい曲面の例から始めてその定義や調べ方についてごく初歩的な部分を紹介したいと思います。

通常高校までに扱う図形、あるいは幾何学的対象というのは平面内における直線や三角形、円であったり、空間内における多面体や球面など、あらかじめ用意された入れ物としての空間の中に図形が置かれているという状況を考えます。この講座でも平面や空間内に置かれた曲線や曲面についてその座標変換の様子であったり、曲がり具合をどのように測るかといった話から始めていきます。

曲面の曲がり方を測る量としてガウス曲率というものがあります。実はこのガウス曲率というものは、曲面がどのように三次元空間内に置かれているかということではなく曲面自身の持つ性質として定まっているということがわかります。別の言い方をすると、曲面を外から眺めることなくその曲がり方を定め、測ることができるということです。この事実はガウスの驚異の定理などと呼ばれています。

このような観察を通して、図形や空間というべきものを外側から眺めることなしに定義することができるという理解に至りました。この講座では、高次元の空間もそれを外から眺めることなく定義するという方法について説明することを目標とします。またそのような高次元の空間の例として、グラスマン多様体というものを紹介します。これらを通して、目に見えない高次元の空間の形や曲がり具合をどのように調べるか、その一端を紹介してみたいと思います。