測度論，積分論，関数空間
この講座では測度論とルベーグ積分論を解説します．測度論は積分論の基盤であるだけでなく，確率論の枠組みとしても重要です．ルベーグ積分はユークリッド空間のルベーグ測度によって定まる積分の概念です．関数解析やデータ解析などの舞台であるL1空間やL2空間などの関数空間はルベーグ積分によって定義されます．
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測度とルベーグ積分
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講座概要
OVERVIEW
測度は図形の面積や体積のように部分集合の大きさを測る数値的指標です．測度が定義されるのは可測集合と呼ばれる部分集合であり，可測集合全体はボレル集合体（σ集合体，σ加法族などとも呼ばれる）という特別な性質をもつ集合族をなします．
ボレル集合体とその上の測度を指定した集合を測度空間と呼びます．これは開集合族を指定した集合を位相空間と呼ぶことに似ています．確率論の舞台である確率空間は測度空間の特別な場合です．積分が定義されるのは測度空間上の可測関数と呼ばれる関数です．可測関数と可測集合の関係は連続関数と開集合の関係に似ています．
講座の前半ではこのような測度論の舞台設定を紹介し，後半では可測関数の積分論を解説します．特に，ユークリッド空間上のルベーグ測度に関する積分がルベーグ積分です．
ルベーグ積分はリーマン積分よりも強力で，リーマン積分不可能な関数でも，可測関数ならばルベーグ積分が考えられます．リーマン積分と違ってルベーグ積分では，被積分関数の連続性は必須の条件ではありません．さらに，ルベーグ積分では関数列の極限操作と積分操作の順序交換を可能にする収束定理がリーマン積分の場合よりもはるかに緩やかな条件下で成立します．これらの事実を紹介することが講座の後半の目標です．
最後に，ルベーグ積分の応用としてL1空間やL2空間などの関数空間を取り上げます．それらの重要な性質として完備性の概念を紹介します．ルベーグ積分はこれらの関数空間のノルムや内積を定義するために用いられますが，その際に「ほとんど到るところで等しい関数は同一視する」という微積分学にはない見方をします．
教科書
すうがくぶんかオリジナルテキスト
- 書籍
すうがくぶんかオリジナルテキスト
- 送付方法
デジタルデータ（PDF）をメール添付にてお送りいたします
※ テキスト代は受講料に含まれています。
講義の目標
- 測度空間と可測関数の概念を理解する．
- ルベーグ積分の定義と性質を学ぶ．
- 関数空間の考え方を学ぶ．
前提とする知識
- 実数とその集合の基本的性質．
- 連続関数の概念と基本的性質．
- 数列や関数列の各種の収束の概念．
- リーマン積分の概念と基本的性質．
- 集合と位相の基礎知識．
カリキュラム
Curriculum
第1期：測度空間
ボレル集合体とその上の測度からなる測度空間の概念を導入し，測度の構成法や例としてのルベーグ測度を説明します．
第2期：可測関数
測度空間上の可測関数の概念とその代数的性質や上限・下限・極限に関わる性質を説明します．
第3期：可測関数の積分
ルベーグ積分の場合を含めて，可測関数の積分の概念を一般的に導入し，そのさまざまな性質を説明します．
第4期：収束定理とその応用
関数列の極限操作と積分操作の順序交換ができるための条件を収束定理として定式化し，いくつかの応用を紹介します．
第5期：関数空間
関数のなす線形空間にノルムや内積を入れることによって各種の関数空間ができることを説明します．
講座情報
Information
| 講座名 | 測度とルベーグ積分 |
|---|---|
| 担当講師 | |
| 開講スケジュール |
土曜クラス : 10:00-12:00
2026年04月11日～2026年09月05日
2026年05月02日, 08月15日 は休講です。 第1期：2026年04月11日, 18日, 25日, 05月09日 支払い期日：04月18日（土）
第2期：2026年05月16日, 23日, 30日, 06月06日 支払い期日：05月15日（金）
第3期：2026年06月13日, 20日, 27日, 07月04日 支払い期日：06月12日（金）
第4期：2026年07月11日, 18日, 25日, 08月01日 支払い期日：07月10日（金）
第5期：2026年08月08日, 22日, 29日, 09月05日 支払い期日：08月07日（金）
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| 受講方法 |
Zoomによるオンライン講座 授業は録画されます。録画（アーカイブ動画）は授業終了から5年間オンラインにて繰り返しご視聴いただけます。（ダウンロード不可） 詳細はこちらのページをご確認ください。 |
| 教科書 | すうがくぶんかのオリジナルテキスト |
| 受講料 |
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