整数論入門

まずは整数論全体の紹介を行います。自然数や整数という素朴な対象に対してどのようなことが調べられて
いるかをざっくりと見ていきます。

直角三角形に関する三平方の定理は数学で最も有名な定理の一つです。
三平方の定理とは各辺の長さ \(a,b,c\) であるような直角三角形 (\(c\) が最大の辺とする) があるとき、\(a^2+b^2=c^2\) が成り立つというものでした。各辺の長さが \(a,b,c\) がすべて整数であるような直角三角形があるとき、整数の組 \((a,b,c)\) をピタゴラス数といいます。

さらに発展して、\(a^3+ b^3= c^3\) が成り立つ整数 \((a,b,c)\) はあるでしょうか？
\(a^4+ b^4=c^4\) や \(a^5+b^5=c^5\) だったらどうでしょうか？
この問いはフェルマーの最終定理として知られているものです。

講義ではピタゴラス数の問題とフェルマーの最終定理の間をとって\(a^3+b^3=c^2\)が成り立つ整数の組についても考えてみます。

ここでは\(ax + by = c\)を満たす整数の組\(x, y\)について考察します。前に扱った方程式よりも基本的な方程式ですが、後で扱う合同式においても重要です。

どのような自然数についても素因数分解がただ一通りにできることを証明します。
この事実がそれほど当たり前ではないことについて、面白い解説がなされています。少し設定を変えると素因数分解がただ一通りにできない状況が生まれてしまうことを説明します。

整数をある数で割ったあまりにだけ注目する、合同式という考え方について紹介します。
合同式が重要である理由として、少なくとも以下の2点が挙げられます。

• 割った余りだけに注目するという、大雑把な捉え方をすることによって元々の整数についての問題の見通しが良くなる。
• これまで考えてきた数とは違った数の体系が得られ、それ自身興味深い性質がある。

素数が無限にあることを証明するのがこの章の最初の目標です。有名なユークリッドの方法について解説します。また、「4で割って1余る素数は無限にあるか？」のように問題を少し変形するとどうなるかについても考察します。

合同式の2次方程式について考察します。2つの素数\(p, q\)について「\(p\)で割った余りで考える\(2\)次方程式」と「\(q\)で割った余りで考える\(2\)次方程式」を 結びつけるのが平方剰余の相互法則です。

\(n=4\) のフェルマーの最終定理(教科書30章)

第30章はフェルマーの最終定理の \(n= 4\) の場合についての章です。この場合は無限降下法というフェルマー自身がよく用いていたと言われる方法を用いることで証明ができます。

ここまでで既に様々な方程式についてその整数解ついて考察しました。この章では方程式\(y^2=x^3 +ax^2+bx+c\)の整数解や有理数解について考察します。\(y^2= x^3 + ax^2 + bx + c\)で定義される平面上の曲線を楕円曲線といいます。
この方程式の解を見つける操作が楕円曲線上に直線を引くという幾何学的な操作に結びつく面白い対象です。具体的な楕円曲線に対して実行してみましょう。