集合と位相

この講座では現代的な数学を記述するための基礎的な概念として集合や写像、位相空間や連続写像について学びます。

高校までで学ぶ数学では、数や式、図形などを素朴な感覚に基づいて扱うことも多く、また関数について調べるときもグラフを書いて視覚的に理解することがよくあります。一方で現代的な数学では、集合の言葉を用いてあらゆる概念の定義が述べられます。例えば、微積分を学ぶために必要な実数の性質であったり、線形代数における抽象的な線形空間や線形写像の定義をご覧になったこともあると思います。また、多様体などの現代的な幾何学であったり、関数空間など無限の取り扱いにおいて、 位相空間はその基礎となります。

このように数学に現れる様々な概念を記述するための言葉が集合や写像です。外国語などの言語を学ぶことで例えると、この講座で扱う集合や位相を学ぶことは現代的な数学における基本的な文法や単語を学ぶことにあたり、会話をしたり様々な文章を読むことが色々な数学の概念を学んだり理解を深めることにあたります。

このように様々な概念を記述するための言語であるがゆえに、集合や位相空間という概念は以上に抽象的です。であるからこそ、これらを扱う上では論理のみに基づいた証明が非常に重要です。しかし、論理のみに基づいた証明を記述するという能力は、講義を聞くだけでは身につきづらいものです。この講座では、指定した演習問題を提出いただきそれ添削することで、数学的な事実を証明する能力を身につけていただくことを目指します。

集合や位相空間は「もの」ですが、それに対して写像あるいは連続写像は「もの」同士の関係を記述する概念です。このような「もの」同士の関係に注目するという考え方は比較的近年になって主流となっている圏論的な考え方です。様々な数学的な概念を記述するために、冪集合、直積集合、商集合といった集合を用いますが、これらの性質を記述するには写像の言葉を用いることが非常に重要です。

本講座で使用する教科書は上に述べたような圏論的な考え方に基づいた記述が特徴的です。そのため、集合や位相について勉強したことがあって基本的な内容を既に知っているという方であっても、それらについて新たな理解を深めることができるという意味でお勧めできます。

教科書の著者、斎藤毅先生による文章「集合と位相―計算しない数学―」がこちらからご覧いただけますのでご覧ください。

右図：Wikipedia 内部（位相空間論）より. Licensed under パブリック・ドメイン via ウィキメディア・コモンズ