天に向かって続く数：加藤先生 特別講義シリーズ

p進数とは、１９世紀から２０世紀への変わり目くらいに、ドイツの数学者クルト・ヘンゼルによって初めて導入された数の体系です。その発見以後、p進数は現代数学の多くの場面で、極めて重要な役割を果たしてきました。例えば、ワイルスによるフェルマーの最終定理の証明の中では、ガロア表現の変形理論というものが重要なステップを形成していますが、そこでもp進数の考え方は極めて本質的かつ基本的な役割を果たしています。

そもそも有理数から実数への数の拡張においては、極限操作が重要な役割を果たしていました。この部分の数の拡張を、実数とは別の方法で行なって得られるのがp進数です。ですから、p進数は実数と同じような数の体系だと考えることもできます。しかし、p進数を理解することのご利益は、それだけにとどまりません。p進数はすべての素数pに対して存在します。そしてこれら全部と実数とを束にして考えることは、整数論や数論幾何学などの現代数学において、極めて重要な視点を提供しています。

p進数はすでに、現代数学においては欠かすことのできない基礎的で重要な数の体系になっています。p進数のような「非アルキメデス的」な数の上で解析学をすることも、２０世紀半ば以降、盛んに研究されてきました。

このように重要なp進数ですが、それを理解して使いこなすことは、実は難しいことではありません。実は初等整数論＋αくらいで、p進数を使いこなすことができるようになります。さらにp進数によって数を計算することは、実は底知れないほど深く、しかもとても面白い世界です。p進数や、その一般化である無限桁のm進数の計算に慣れると、それまでとは違った、とても新しい数の世界の姿に心打たれることでしょう。

この講座では、中学・高校数学レベルの初等的な整数論から、直接的にp進数に至る道を紹介します。それは講師（加藤文元）自身が実際に大学生時代にたどった道です。その道において扱われる数学は、約数・倍数や素因数分解、合同式といった基本的で初等的なものばかりです。もちろん、これらの概念も（初等的ながら）深い含蓄を持っています。この講座ではその深みにも触れながら、今一度初等整数論の復習を行い、その直接の延長線上にp進数の世界を提示することを目指しています。

この講座では『天に向かって続く数』（日本評論社）を教科書に使います。この教科書では、最初にすべてのストーリーの動機となる不思議な「２乗してもとにもどる無限桁の数」について説明し、それが一体何を意味するものなのか、一歩一歩丁寧に解説しています。そして、その道程で必要となる初等整数論の概念や事実を、ひとつひとつ細やかに、そしてあくまでも厳密に取り扱っていきます。

現代数学と高校までの数学をつなぐ重要な基礎概念は多く存在しますが、p進数ほど素朴な出自を持ちながら現代数学にまっすぐつながっている概念もないでしょう。初等整数論という素朴ながら精緻で奥深い数学の世界と、同時に現代数学の高度かつ魅力溢れるp進数の世界を同時に垣間見ることのできる本講座に、多くの方の受講をお待ちしております。