線形代数 特別講義(加藤文元先生)

2022年度後期(10月-3月)のご受講についてお申し込み受付中です。録画視聴による参加、途中参加も可能。こちらからお申込みいただけます。

この度、数研出版の 「数研講座シリーズ 大学教養 線形代数」を教科書に、著者である加藤文元先生に講義をしていただきます。加藤文元先生には、今までに現代数学レクチャーシリーズの開講当初よりご講演いただいてきました。今回は、10月から3月までと6ヶ月に渡る特別講義となりますので、ご受講ください。

撮影・河野裕昭

「数研講座シリーズ 大学教養 線形代数」は線形代数の本格的な入門書として大変好評を得ている本です。著者である加藤文元先生によって、一から線形代数を学べる機会となります。

また、本講義に対応したすうがくぶんかの講師による 線形代数演習 講座も同時開講いたします。こちらも加藤文元先生が監修された 「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」を使用いたします。

線形代数 特別講義(加藤文元先生)をご受講いただき、翌週には線形代数演習講座を併せてご受講いただくことも可能です。線形代数演習講義の詳細については こちらからご確認いただけます。

講座の概要

多変数を扱うところには必ずといっていいほど数ベクトル行列が現れます。これは多変数をそのまま扱うよりもベクトルや行列によって表現した方が分かりやすいためです。

1変数で最も基本的な関数は比例でしょう。 線形代数は「線形な構造を扱う分野」で、線形とは1変数では比例のことを指します。つまり、線形代数は「多変数での比例に相当する関数を扱う分野」と言い換えることができます。

本講座では、基本的なベクトルや行列の扱いから始めて、線形代数をより深く理解することを目指します。 線形代数を勉強することで、多変数の微分積分や多変量解析・機械学習など、様々なものの見通しがよくなることでしょう。

前提となる知識

  • 高校数学の数学Ⅲ・Cまでの高校数学の知識

カリキュラム詳細

この講座は 加藤文元著『数研講座シリーズ 大学教養 線形代数』(数研出版)を教科書に行われます。以下では取り扱う内容の概要を説明します。

行列と数ベクトル

まずは連立1次方程式という馴染みのある対象と行列・数ベクトルの関係を説明します。実は連立1次方程式は行列と数ベクトルを用いることで、スッキリと表すことができます。中学校以来、連立1次方程式を加減法で解いてきましたが、この加減法は行列の基本変形(掃き出し法)という操作によって理解することができます。

連立1次方程式を用いて行列・数ベクトルをイメージから理解したのち、連立1次方程式から離れて行列・数ベクトルのもつ性質を説明していきます。

逆行列と行列式

\(0\)以外の実数に逆数があるように、行列にも逆行列というものがあります。しかし、「いつでも逆行列が存在するとは限らない」というところは実数の逆数と異なります。そのため、

    • 逆行列は存在するか
    • 存在すればどのような行列か

は非常に重要な問題です。

そこで逆行列の存在を判定するためのものとして行列式があります。行列式は行列のある性質を定量的に取り出すもので、平行四辺形の面積や平行六面体の体積と関係付けることができます。

線形空間と線形写像

ここまでで説明してきた行列と数ベクトルの空間を一般化することを考えます。結論から言えば

  • 数ベクトルの空間を一般化したものは線形空間
  • 行列を一般化したものは線形写像

と呼ばれるものとなります。実はこれら線形空間と線形写像こそが線形代数の真髄で、数ベクトルとは一見全く異なる「多項式」や「数列」といったものも数ベクトルと同じように扱えることがあります。これにより、様々な問題を線形代数の理論から解くことができるようになります。ここでは具体例を交えながら,線形空間と線形写像の種々の性質を説明します。

ノルム空間と内積空間

高校数学ではベクトルの長さや内積を学びますが,これらはベクトルの定量的な性質を表すものとしてとても便利なものでした.高校数学では長さや内積は1種類しか登場しませんが、実はこれらは線形代数ではそれぞれ標準ノルム標準内積と呼ばれるもので,線形代数では様々なノルム(長さ)内積が考えられます。

とはいえ、本講義では標準ノルムと標準内積をメインに扱うことになりますが、ここでは線形空間のノルムと内積による定量的な考え方を説明します。

対角化と固有値・固有ベクトル

行列を調べるための方法の1つに対角化があります。例えば、同じ行列を何回もかけたものを計算する際、行列の積の定義に当てはめて愚直に計算しようとすると膨大な労力が必要と なります。しかし、対角化を用いることで、この計算を非常に簡明に行うことができます。

この対角化を行うために重要となるのが、

  • 固有値
  • 固有ベクトル

です。ここでは対角化の仕組みを固有値・固有ベクトルの観点から説明します。

ジョルダン標準形

\(n\)次正方行列\(A\)が対角化可能であれば、その対角化の成分は\(A\)の固有値が重複度の分だけ並んだものになるので、その形は\(A\)に対して一通りに決まるという意味で標準的です。

実は対角化可能でない行列にも、対角化を一般化した概念としての一通りに決まる標準形があり、それがジョルダン標準形です。ジョルダン標準形は対角化と同様に、同じ行列を何回 もかける計算などを容易にします。

さらにジョルダン標準形の理論は、線形代数学における線形写像の分類の一つの到達点であり、それは理論的な側面のみならず、幅広い数理科学の分野への応用がある重要定理でもあ ります。ジョルダン標準形について、その概念的、理論的側面や具体的な計算法などについて学びましょう。

受講詳細

お申し込みはお申込フォームからお願いします。

名称線形代数 特別講義(加藤文元先生)
講師加藤文元(東京工業大学理学院数学系教授 株式会社SCIENTA・NOVA代表取締役)
日程・日曜クラス :10:00-12:00, 10/9-3/19 (10/30, 11/6, 12/25, 1/1は休講) 全20回

※上記以外の休講が入る場合がございます。その際は4月に後ろ倒しになる可能性がありますことをご了承ください。

※詳細は下記の開講スケジュールをご参照ください。

場所Zoomによるオンライン講座となります。
教科書数研講座シリーズ 大学教養 線形代数(数研出版)
※各自ご購入いただくようお願いいたします。
受講料税込19,500円/4回毎

※初回講義より4回毎に受講料をお支払いいただきます。
4回毎の区分(1期~5期)は下記の開講スケジュールをご参照ください。

クレジットカード支払いはこちらのページから。

持ち物筆記用具と教科書
その他・授業は録画されます。授業終了から2年間オンラインにて繰り返しご視聴いただけます(ダウンロード不可)。
・動画視聴のみの受講も可能です。

お申込み

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    3日以上経っても返信がない場合は、お手数ですが、suugakubunnka@gmail.comまでご連絡ください。

    開講スケジュール

    日曜クラス:10:00〜12:00 全20回
    10月30日、11月6日、12月25日、1月1日は休講です。

    1期(第1講~第4講)
    第1講10月9日
    第2講10月16日
    第3講10月23日
    第4講11月13日
    2期(第5講~第8講)
    第5講11月20日
    第6講11月27日
    第7講12月4日
    第8講12月11日
    3期(第9講~第12講)
    第9講12月18日
    第10講1月8日
    第11講1月15日
    第12講1月22日
    4期(第13講~第16講)
    第13講1月29日
    第14講2月5日
    第15講2月12日
    第16講2月19日
    5期(第17講~第20講)
    第17講2月26日
    第18講3月5日
    第19講3月12日
    第20講3月19日