シリーズ現代数学の基礎概念

2020年度前期(5月-9月)開講分、お申込受付中です。こちらからお申込みいただけます。

講座シリーズの概要

この講座シリーズでは現代的な数学を学ぶための基本的な概念について、その入り口を紹介することを目的としています。微分積分や線形代数などの数学をすでに学んだ方に向けて、より高度な数学を学ぶための手がかりを提供します。2020年前期は解析的な手法とそれに関連する幾何学について扱います。

本講座シリーズの各月の内容は相互に関連はあるものの、ご興味ある内容の月だけご受講いただくことができるカリキュラム構成です。以前の月の内容を理解していることが受講の前提ではありませんので、一ヶ月だけでもお気軽にお申し込みください。

受講にあたって

受講にあたって役に立つ知識
高校数学全般(大人のための高校数学IIB大人のための数学IIIC
多変数まで含めた微分積分(微積分入門
線形代数(線形代数入門
目標
微分積分や線形代数の先の数学について学ぶ。
現代数学を学ぶための基本的な概念について理解する。
高度な専門書を読むための基礎知識を身につける。
微分方程式やベクトル解析などの進んだ解析の手法を学び、幾何との関係などについても学ぶ。

各月の内容

5月 ベクトル解析と微分形式

ベクトル解析や微分形式というのは多変数関数であって関数の値も多変数となる場合にその変化の様子を調べるための道具です。一変数関数で値も一変数の場合には微分と積分が逆の操作になるという微積分学の基本定理がありますが、これの高次元化であるガウスの定理、ストークスの定理といった微分と積分を結びつける定理があります。これらを理解し様々な例で計算できるようになることが目標です。
また、電磁気や流体など様々な物理現象を記述するのにも利用されますので、そのような応用についても紹介したいと思います。

6月 微分方程式

一変数関数についての微分方程式が常微分方程式と呼ばれるものですが、これらについていくつかを紹介し、特に線形常微分方程式について詳しく扱います。また、実際に現象を記述するには多変数関数に対する微分方程式として偏微分方程式が現れますが、波動方程式、熱方程式など、重要な偏微分方程式の例についても簡単に紹介します。
変分法は関数に対する最大最小を求めるもので物理などでも重要になる考え方ですが、微分方程式とどのように関わるかを簡単に紹介します。微分方程式は一般的には解くことが難しいものですが、対称性を利用して解くことができるものはよく調べられています。このような事例について簡単にご紹介いたします。

7月 曲面論

平面上の幾何だけではなく、曲がった空間やそれらの幾何を扱う数学的な方法を学びます。曲面上の曲線の長さや曲線にそったベクトルの平行移動、また曲面上の測地線の考え方、曲面の曲がり方を表す曲率という量について理解することが目標です。
これらを踏まえて曲面の繋がり具合を表すオイラー数と曲面の曲がり具合を表す曲率の関係を記述するガウスボンネの定理について紹介します。(以前に行った無料公開講座多様体入門と内容としては重複する部分がございます。)

8月 フーリエ変換

フーリエ級数展開やフーリエ変換は関数を三角関数を用いて表すことで関数の性質を調べる手法です。例えば時間にしたがって変化する量について、その周波数成分への分解などを行います。フーリエ変換は様々な応用を持つものですが、特に微分方程式との関係について中心的に扱います。
またフーリエ変換を用いることで分布の様子を調べることもできます。そういった現象についても簡単にご紹介します。
(以前に行った高校数学から始めるフーリエ解析とほぼ同内容の予定です)

9月 測度論

測度論というのは面積や体積などといったものの量を測る抽象的な枠組みです。通常高校などで習う積分はリーマン積分と呼ばれ、これに対して測度論に基づいた積分がルベーグ積分です。この二つは関数の極限などの扱いに違いがあります。
測度論を用いると通常の数直線や座標平面上で定義された関数の積分だけでなく、より一般の集合上の関数に対しても積分という概念を定義することができるようになり、例えば確率論などの基礎にも利用されます。
この講座では、測度論の基礎から初めて、ルベーグ積分の概念を紹介し、確率論や微分方程式とどのように関係してくるかを紹介します。線形代数を使って様々な関数や微分方程式の性質を調べる手法である関数解析への導入も目指します。

お申込み

お申し込みは、お申込フォームからお願いします。
※お手数ですが、件名について『現代数学の基礎概念(受講月)』を選択のうえ送信をお願いします。

名称 現代数学の基礎概念
講師 梅崎直也
日程 毎週月曜日 19:00-21:00
5月:ベクトル解析と微分形式
6月:微分方程式
7月:曲面論
8月:フーリエ変換
9月:測度論
※ 詳細は下記の開講スケジュールをご参照ください。
場所 5,6月はZoomによるオンライン講座となります。7月以降は状況に応じてオフラインへ変更となる可能性がありますが、その場合にも動画配信などオンラインのみご受講いただける方にも対応いたします。
武蔵ビル5F HAPON新宿北会議室
※会場が変更となった際には、事前にご連絡をさしあげます。
教科書 講師オリジナルテキスト
※ テキスト代は受講料に含まれています。
受講料 19,500円/月
クレジットカード支払いはこちらのページから。
持ち物 ・筆記用具

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開講スケジュール

8月10日月曜日は休講です。

月曜日
19:00〜21:00
ベクトル解析と微分形式第1講 5月11日
ベクトル解析と微分形式第2講 5月18日
ベクトル解析と微分形式第3講 5月25日
ベクトル解析と微分形式第4講 6月1日
微分方程式第1講 6月8日
微分方程式第2講 6月15日
微分方程式第3講 6月22日
微分方程式第4講 6月29日
曲面論第1講 7月6日
曲面論第2講 7月13日
曲面論第3講 7月20日
曲面論第4講 7月27日
フーリエ変換第1講 8月3日
フーリエ変換第2講 8月17日
フーリエ変換第3講 8月24日
フーリエ変換第4講 8月31日
測度論第1講 9月7日
測度論第2講 9月14日
測度論第3講 9月21日
測度論第4講 9月28日