シリーズ現代数学の基礎概念

ベクトル解析や微分形式というのは多変数関数であって関数の値も多変数となる場合にその変化の様子を調べるための道具です。一変数関数で値も一変数の場合には微分と積分が逆の操作になるという微積分学の基本定理がありますが、これの高次元化であるガウスの定理、ストークスの定理といった微分と積分を結びつける定理があります。これらを理解し様々な例で計算できるようになることが目標です。
また、電磁気や流体など様々な物理現象を記述するのにも利用されますので、そのような応用についても紹介したいと思います。

一変数関数についての微分方程式が常微分方程式と呼ばれるものですが、これらについていくつかを紹介し、特に線形常微分方程式について詳しく扱います。また、実際に現象を記述するには多変数関数に対する微分方程式として偏微分方程式が現れますが、波動方程式、熱方程式など、重要な偏微分方程式の例についても簡単に紹介します。
変分法は関数に対する最大最小を求めるもので物理などでも重要になる考え方ですが、微分方程式とどのように関わるかを簡単に紹介します。微分方程式は一般的には解くことが難しいものですが、対称性を利用して解くことができるものはよく調べられています。このような事例について簡単にご紹介いたします。

平面上の幾何だけではなく、曲がった空間やそれらの幾何を扱う数学的な方法を学びます。曲面上の曲線の長さや曲線にそったベクトルの平行移動、また曲面上の測地線の考え方、曲面の曲がり方を表す曲率という量について理解することが目標です。
これらを踏まえて曲面の繋がり具合を表すオイラー数と曲面の曲がり具合を表す曲率の関係を記述するガウスボンネの定理について紹介します。（以前に行った無料公開講座多様体入門と内容としては重複する部分がございます。）

フーリエ級数展開やフーリエ変換は関数を三角関数を用いて表すことで関数の性質を調べる手法です。例えば時間にしたがって変化する量について、その周波数成分への分解などを行います。フーリエ変換は様々な応用を持つものですが、特に微分方程式との関係について中心的に扱います。
またフーリエ変換を用いることで分布の様子を調べることもできます。そういった現象についても簡単にご紹介します。
（以前に行った高校数学から始めるフーリエ解析とほぼ同内容の予定です）

測度論というのは面積や体積などといったものの量を測る抽象的な枠組みです。通常高校などで習う積分はリーマン積分と呼ばれ、これに対して測度論に基づいた積分がルベーグ積分です。この二つは関数の極限などの扱いに違いがあります。
測度論を用いると通常の数直線や座標平面上で定義された関数の積分だけでなく、より一般の集合上の関数に対しても積分という概念を定義することができるようになり、例えば確率論などの基礎にも利用されます。
この講座では、測度論の基礎から初めて、ルベーグ積分の概念を紹介し、確率論や微分方程式とどのように関係してくるかを紹介します。線形代数を使って様々な関数や微分方程式の性質を調べる手法である関数解析への導入も目指します。

数学の問題を解くとき、対称性を利用することで簡単に解けるということがよくあります。この対称性というものを取り出し、数学的な概念として記述する基本的な道具が群と言われるものです。群は、あみだくじや物の並べ替え、図形の回転や対称移動、方程式の解の対称性、行列、などといった数学や自然科学の様々な現象にあらわれます。

このように群は広く現れるとても重要かつ基本的な概念であり、この講座シリーズにおいても中心的な役割を果たします。10月は群の定義や基本的な性質からはじめて、対称群や行列群などといった様々な群の例を紹介しながら群という概念に馴染み、数学のどのような場面に現れるのかを紹介していきます。

上で述べたように群は対称性という概念の抽象化と考えられます。ではその対称性の現れかたにはどのようなものがあるかというと、図形の対称性、式の対称性、関数の対称性など様々ですが、これらは群の表現というものを通してよりろく理解することができます。特に群の線形表現と呼ばれるものを考えることで行列や線形代数の様々な手法が使えるようになり、群というやや捉え所のないものを扱いやすくすることができます。

そのような群の表現について、その基本的な考え方や様々な数学的現象との関係を紹介します。特に群の表現と特殊関数や微分方程式との関係についてお話しします。また、いろいろな群の表現の間にある関係性についても時間の許す限りでお話しします。

複素数を変数にとり値が複素数であるような関数の微分や積分について扱います。複素数の関数として微分可能である関数を正則関数と呼びます。正則関数は単に微分可能というだけの条件にもかかわらず、実数の場合に比べて非常に強い制約を受けます。そのため、コーシーの積分定理、留数定理、解析接続などといったとても強力な定理が成り立ち、その応用としていろいろな積分の計算ができたり一見奇妙に見えるような等式を示したりすることができます。

この複素解析について、様々な計算や関数の性質を通してその理論の強力さを見ていきたいと思います。複素解析は19世紀に精力的に研究され、その後の数学の発展を促しました。そのような話題の一つとして楕円関数についても簡単に紹介します。

「柔らかい」幾何学とも言われるトポロジー、位相幾何学について紹介します。図形や空間の大きさや曲がり具合といった情報を忘れて、伸び縮みさせたり曲げたりしても変わらない性質を調べます。そのような性質を不変量と言われる数や代数的な構造として取り出すというのが主要な手法です。

基本群やホモロジーといった代数的な道具を用いて、あるいは点と辺からなるグラフやそれを高次元化した単体的複体と呼ばれる組み合わせ的な記述を用いて様々な空間の形を調べます。このように、必ずしも目に見えない図形や空間の形をどのように計算して調べるのかについて、具体例の計算を通してその考え方をお話しします。

ガロア理論とは、方程式の解が作る対称性に注目することでその方程式の性質を調べるものです。このような方程式の対称性を群を通して理解します。例えば、5次以上の方程式の解の公式や作図可能性についての有名な事実を、方程式に対応する群の性質を調べることで証明することができます。

具体的な方程式とその解法の計算を通して、「方程式の解の対称性」というものが群を通してどのように記述されるかを見ていきましょう。このような対応を述べるものである、ガロアの基本定理と呼ばれる定理を理解することを目標とします。また微分方程式や幾何学におけるある種の問題にも同様の理論が存在することが知られています。時間が許せばそういった話の一部もご紹介したいと思います。10月の内容程度の群論の定義や基本的な例については既知とします。