高校数学から始める圏論の基礎

現代の数学で色々な概念を記述するための基本的な言葉として圏論というものがあります。圏論ではものの集まりとそれらの関係に注目するという視点を推し進めることで、数学に現れる現象を統一的に記述することができます。またプログラミング言語などでも圏論的な言葉遣いが使われるようなものがあり、そういったところで耳にした方もいらっしゃると思います。

圏論に出てくる概念で最も基本的なものは自然変換です。この講座では、まずは自然変換の概念に馴染むことを目標にします。また自然変換と関係の深い概念として、関手の随伴を定義します。さらに随伴や極限という概念を用いて記述される圏の例としてカルテシアン閉圏というものを紹介します。

上で述べたカルテシアン閉圏と関係の深いテーマとして、論理や計算の抽象化について扱っていきます。高校の数学で言えば、集合と論理というところで命題の真偽や必要条件十分条件、対偶や背理法などといった概念を学びますが、これらは数学における命題や証明を扱うための枠組みです。このような対象を扱うものとして、記号論理と言われる命題や証明といったものを形式的に扱う分野があります。またこれとは別に、数学に現れる計算やプログラミング言語などの計算といったものを抽象的に扱う枠組みとして、ラムダ計算というものがあります。こちらも計算というものがどのように理解できるかを考えるために、計算が持つべき性質を抽象的、形式的に扱います。

上で紹介したカルテシアン閉圏と呼ばれる特別な圏と、命題論理やラムダ計算の枠組みが対応するという事実があり、カリーハワードランベック対応などと呼ばれています。この講座では、この対応関係が一体どのようなことをいっているのか、その雰囲気に触れてみるということを目標に進めていきます。