物理数学の直観的方法

［テキスト第1章］高校数学と大学数学の大きな違いのひとつに「多変数関数を積極的に使うかどうか」が挙げられます。そのため、大学数学で学ぶ微分積分学では、微分・積分にさまざまなバージョンのものが現れます。

講義第1,2回では、高校数学の微分・積分の復習などの基礎知識を補足しつつ、多変数関数の各種の微分・積分の直観的な考え方を解説します。

［テキスト第2章］関数の中でも多項式は微分・積分の計算に関しては扱いやすい関数のひとつです。そのため、関数を多項式で近い形に表すことで議論が簡単になることがよくあり、そのための定理として「テイラーの定理」があります。

講義第3,4回では、テイラーの定理とその直観的な考え方を解説し、テイラーの定理の応用についても解説します。

［テキスト第3章］正方行列が正則であるための必要十分条件はさまざま知られており、そのひとつである行列式を用いた条件は非常に重要です。とくに、正方行列の固有値を求める際に重要な固有多項式は行列式を用いて定義されます。

講義第5,6回では、正方行列の行列式と対角化・固有値の直観的な考え方を解説します。

［テキスト第4章］オイラーの等式exp(πi)=-1は円周率π、ネイピア数e、虚数単位iを組み合わせて-1となる非自明な等式として非常に有名です。ところが、この「虚数πi乗」というものがどういうものか直観的には少々捉えづらいところです。

講義第7,8回では、オイラーの等式のもととなるオイラーの公式とその周辺について解説します。

［テキスト第5章］ベクトル解析で重要な微分作用素に勾配grad、発散div、回転rotがあります。これらのうち、勾配gradと発散divは定義式から意味を直観的に理解しやすいのですが、回転rotは定義式から意味を理解するのが少々難しいです。

講義第9,10回では、ベクトル解析の基礎知識を補足しつつ、回転rotの直観的な解釈と電磁気学での考え方を解説します。

［テキスト第6章］関数の極限を厳密に定義するにはε-δ論法を用いるのが一般的です。ところが、ε-δ論法は全称∀と存在∃を用いるため、初学者には少々理解しづらいことがあります。

講義第11,12回では、数列の極限(ε-N論法)と関数の極限(ε-δ論法)の考え方を説明し、関数の連続性をε-δ論法を用いて解説します。

［テキスト第7章］フーリエ級数・フーリエ変換は熱方程式を考察する際にジョセフ・フーリエが考案しました。いずれも関数を「波」を用いて考えるもので、現代ではさまざまな分野で用いられています。

講義第13,14回では、フーリエ級数・フーリエ変換の考え方と応用例を解説します。

［テキスト第8章］歴史的には当初の複素解析学の研究の目的の一つに、実数の微分積分への応用があったようです。事実、複素積分はリーマン積分の複素平面への拡張ということができ、広義積分の応用に用いられることがよくあります。

講義第15,16回では、複素関数と複素積分の直観的な考え方と複素積分の応用を解説します。

［テキスト第9章］熱力学はいくつかの法則をもとにした「熱」に関する分野です。第2法則に密接に関係するエントロピーは「乱雑さ」と表現されることが多いですが、エントロピーの定義からこのことを解釈するのが少々難しいです。

講義第17,18回では、熱力学の基礎知識とエントロピーの直観的な考え方を解説します。

［テキスト第10章］解析力学はニュートン力学を抽象化した体系であり、複雑な条件下でも扱いやすい反面、抽象的なためニュートン力学よりも直観的に捉えるのが難しいという側面をもちます。

講義第19,20回では、具体例をもとにラグランジアンとハミルトニアンの直観的な考え方を解説します。