集合・位相入門

集合論の主役は集合と写像です．集合は「モノ（数学的対象）をパッケージしたもの」のこと，写像は関数のように「数学的対象を数学的対象に対応させる規則」のことをいい，どちらも数学のほとんどの分野で用いられます．

そこで，このセクションでは数学で頻繁に用いられる概念を中心に，集合と写像の基礎知識を解説します．
具体的には
・集合の共通部分，和集合
・写像の全射，単射
・集合上の二項関係
を中心の話題として進めます．

2つの集合
・正の整数全部の集合 \(A = \{1, 2, 3, 4, \dots\}\)
・正の偶数全部の集合 \(B = \{2, 4, 6, 8, \dots\}\)
を考えます．

このとき，集合 \(A\) は集合 \(B\) をすっぽり含んでいます．
つまり，\(A\) は \(B\) の部分集合になっています．

このことから，\(A\) の要素は \(B\) の要素より多いと思えそうですが，実は数学において、これら2つの集合 \(A\) と \(B\) の「要素の多さ」は同じと考えることができます。この集合の「要素の多さ」を濃度といい，集合論の基本的な応用であり，数学の中でも重要な概念となっています.

このセクションでは，集合の濃度の考え方と基本性質を解説します.

我々は小学校から数の順序（大小）を自然に考え，数直線で表してきました.実は数学では一般に順序という概念がきちんと定義されており，実数の大小以外にも多くの順序を考えることができます．

たとえば，適切に順序を定義することで，\(xy\) 平面上の点たちに大小を考えることができますし，集合たちの間にも順序を定めることができます．

このセクションでは集合の順序の基礎を解説し，集合の順序の直観を身につけることを目標とします．

例えば，輪ゴムを伸ばすと細長い輪っかになります．もとの状態から形は変わりますが，引きちぎらない限り「ひとつの輪っか」のままです．つまり，輪ゴムは変形しても「繋がり方」は変わらないということができます．

このように，集合の「繋がり方」を数学的には位相といい，位相を備えた集合を位相空間といいます．

位相空間論は抽象的な分野ですが，そのぶん数学では広く用いられる重要な概念です．たとえば幾何学では図形の「繋がり方」が重要ですから位相は必須の概念ですし，幾何学以外でも一定のレベルの数学の分野に進むには避けては通れないものになっています．

このセクションでは多くの具体例を通して位相空間の基礎を解説します．

たとえば，数直線上では絶対値によって距離を考えることができます．実は数学では一般に距離という概念がきちんと定義されており，距離を備えた集合を距離空間といいます．

絶対値以外にも多くの距離を考えることができ，たとえば \(xy\) 平面や \(xyz\) 空間上の直線距離も距離の基本的な例です．

距離空間は「集合の要素の近さ」を考えるものなので，自然に位相空間とみなすことができます．距離空間は位相空間の一種であり，またユークリッド空間 \(\mathbb{R}^n\) の一般化とも言える位置付けの概念なので，ぜひ理解しておきたいものです．

このセクションでは距離空間の基礎と，距離空間の位相空間としての性質も解説します．