複素解析入門

複素解析では、複素平面で定義された複素数値関数を調べます。特に微分可能な関数を正則関数と呼び、これが複素解析での主役です。正則関数は非常に美しい性質を持ち、そのためにたくさんの強力な応用を持ちます。正則関数に関するコーシーの積分公式が正則関数のさまざまな性質を導くための重要な鍵です。この公式について理解することが講座の一つの目標となります。そのために、複素関数の線積分についても詳しく解説します。

多項式や指数関数、対数関数、三角関数など馴染みのある関数は正則関数です。これらの関数についても、複素数まで範囲を広げることでより深く理解することができます。例えばオイラーの公式によって、指数関数と三角関数が結びつきます。また、対数関数や冪乗関数は多価関数となり、複素関数の世界をより奥深いものにしています。

留数定理と呼ばれる公式を用いると、さまざまな積分を簡単に計算することができます。これは初等的には値を求めることのできないような積分についても値を求めることができますし、応用上も重要で例えばフーリエ変換やラプラス変換などの具体的な積分計算にも役立ちます。留数定理を用いてさまざまな積分を計算していくこともとても楽しいものです。

講義の終盤には、それまでに学んだ複素解析のさまざまな知識を用いて楕円関数について調べます。楕円関数は19世紀の数学における華とも言える対象で、オイラー、ガウス、アーベル、ヤコビ、リーマン、ワイエルシュトラスなどさまざまな数学者たちが興味を持ちました。特にこの楕円関数の加法定理を導くことを目標とします。

複素解析という名前で微分積分を使うため解析学の一分野という側面もありますが、実際には代数、幾何、解析、どの分野についても現代の発展の源といえます。例えば線積分やコーシーの積分公式などはトポロジーと関わりが深く、関数の多価性からリーマン面や多様体といった現代の幾何学では欠かせない空間概念へと発展しました。また、代数的な概念である群や環、代数幾何学といった分野にもさまざまな面で結びつきます。

今回の講座では、高校程度の数学のみを予備知識として、それ以上の内容については必要に応じて解説していきます。ぜひ多くの方と複素解析の面白さを共有したいと思います。