大人のための高校数学III・C

極限とはざっくり言えば「どのような値に近づいていくか」ということを述べるもので，高校数学で学ぶ極限には

1. 数列の極限
2. 関数の極限

の2種類があります．

たとえば「正の整数\(n\)をどんどん大きくしていくと\(\displaystyle\frac{1}{n}\)は\(0\)に近付く」といういうことを

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

と表します．

「こんなことを考えてなんの役に立つのか？」と感じるかもしれませんが，実は数学で極限はとても便利で幅広く用いられます．

このセクションでは具体例を多く用いて，数列の極限・関数の極限の考え方を学びます．

\(xy\)平面上の\(y=f(x)\)のグラフの概形を調べるにはどうすれば良いでしょうか？

ひとつの素朴な方法としては\(x\)にたくさんの値を代入して通る点をつなぐ方法ですが，一般にはこの方法はあまり効率が良くありません．

別の方法として関数\(f\)の増減を調べる方法があります．実は微分法を用いると関数の増減を調べることができ，\(y=f(x)\)のグラフの概形が分かります．

このセクションでは微分法を用いて様々な関数の概形を描けるようになることを目標とします．

小学校以来，三角形の面積や四角形の面積など，境界が「まっすぐな」図形の面積はよく求めてきました．

一方，境界が「曲がった」図形の面積を求める際には，積分法が有効なことが多いです．

また，積分法は面積だけではなく，体積を求める際にも用いることができます．

このセクションでは積分法を用いて様々な図形の面積を求めるようになることを目標とします．

ベクトルは数学はもちろん物理など他分野でもよく用いられていることを知っている方も多いかもしれません．

高校数学で学ぶベクトルは「向き」と「長さ」を併せたもので，矢印で図示することができます．

ベクトルを用いると図形の扱いが簡単になったり，様々な方面に応用があります．

このセクションではベクトルの基本的な考え方を理解して，図形へ応用することを目標とします．

実数を２乗すると必ず\(0\)以上の実数となります．
そのため，たとえば２次方程式\(x^2=-1\)は実数解\(x\)をもちません．
そこで，「２乗して\(-1\)となる数を\(i\)と表し虚数単位と呼ぶ」ということを数学IIで学びます．

さて，\(a+bi\)(\(a,b\)は実数）と表される数を複素数と呼びます．
実は複素数は平面上に図示することができ，様々な良い性質をもつことが知られています．

このセクションでは複素数の考え方と計算を具体例を用いて理解できるようになることを目標とします．