大人のための高校数学III・C

極限とはざっくり言えば「どのような値に近づいていくか」ということを表すもので，高校数学では
・数列の極限
・関数の極限
の2種類の極限を学びます．

たとえば「正の整数 \(n\) をどんどん大きくしていくと \(\frac{1}{n}\) は 0 に近付く」ということを

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$

と表します．極限はとても便利な道具で，数学では幅広く用いられます．

このセクションの目標は「数列の極限・関数の極限の考え方を理解して，簡単な極限計算ができるようになること」とします．

\(xy\) 平面上の \(y = f(x)\) のグラフの概形を調べたいとき，

1. (1)関数 \(f\) の増減を調べる
2. (2)増加・減少が切り替わる \(x\) で点 \((x, f(x))\) をとる
3. (3)とった点をつないでグラフを描く

という流れでグラフ \(y = f(x)\) の概形を描くことができます．

微分法はこれらのステップのうち，最初のステップ「関数 \(f\) の増減を調べる」で重要な道具です．

このセクションの目標は「微分法を用いて様々な関数の概形を描けるようになること」とします．

小学校や中学校までは，三角形の面積や四角形の面積など境界がまっすぐな図形の面積を求めてきました．

曲がった境界をもつ図形の面積を求めるのは難しそうに感じられますが，実は積分法を用いることでそ曲がった境界をもつ図形の面積も求められるようになります．さらに，積分法は面積だけではなく，体積を求める際にも用いることができる重要な道具となっています．

このセクションの目標は「積分法を用いて様々な図形の面積を求めるようになること」とします．

高校数学で学ぶベクトルはざっくり言えば「矢印」のことで，「向きと長さを併せたもの」などと表現されます．

数学Aで学ぶ初等的な幾何学では捉えることが難しい図形でも，ベクトルを用いることで計算で図形の性質を考えられるようになります．

また，ベクトルは図形で扱えるだけではなく物理や統計学などの応用方面でも広く用いられており，習得することでさまざまな分野に立ち入ることができます．

このセクションの目標は「ベクトルの基本的な考え方を理解して，基本的な図形の問題で使えるようになること」とします．

実数を2乗すると必ず0以上の実数となるため，たとえば2次方程式$$ x^2 = -1 $$は実数解 \(x\) をもちません．そこで，数学IIでは2乗して-1となる数を \(i\) と表して虚数単位と呼ぶことを学びます．

この虚数単位 \(i\) を用いて、 \(a + bi\) （ \(a\), \(b\) は実数）と表される数を複素数と呼びます．実は複素数は平面上に図示することができ，平面図形の回転や変形をする際に非常に便利な性質を持っています．

このセクションの目標は「複素数の考え方を理解して，基本的な計算と図形の変換に応用できるようになること」とします．