例と演習で学ぶ確率論

確率論は基本的に測度空間（確率空間)という「舞台」で議論されます．そのため，確率論を厳密に理解するには測度空間を理解するのが第1歩です．

確率論や統計学を学び始めると確率変数という概念に出会います．測度空間が確率論の「舞台」なら，確率変数は確率論の「役者」と言ってよく，確率変数の様々な性質を調べるのが確率論です．

第1期では，測度空間と確率変数を基礎から学び，その性質や具体例に触れます．

確率論に関する量として期待値があり，直観的には確率変数の期待値は「真ん中」の値ということができます．また，期待値は確率論の極めて重要な大数の法則と中心極限定理を考える際には欠かせないもので，その意味で確率論で重要な役割を果たします．

また，複数の確率変数があるとき，それらの確率変数が独立であるかどうかが確率変数を解析する際に重要な意味を持つことがよくあり，（基本的な）大数の法則と中心極限定理は独立な確率変数たちに対して成り立ちます．

第2期では，第3期で扱う大数の法則と中心極限定理のために必要な，確率変数の諸性質を考えます．

例えば，表裏が均等に出るコインを10回投げて表が出る割合を観測すると，概ね3/10〜7/10程度になります．もちろん表が1,2回しか出ないこともあり得ますが，起こる確率としてはそう大きくありません．投げる回数を1000回にすると，表が出る割合のブレが10回の時よりずっと小さくなり概ね1/2程度になります．

このように，試行回数を大きくしていくと，「観測量」はその期待値に近い値をとる確率が1に近付いていきます．これと同様のことは一般にも成り立ち，このことを述べた定理は大数の法則と呼ばれています．

また，試行回数が大きいときの「観測量」（の標準化）が正規分布に近い振る舞いをすることも証明することができ，このことを述べた定理は中心極限定理と呼ばれています．

第3期では，確率論で極めて重要な漸近定理である大数の法則と中心極限定理の主張と考え方を学びます．

「雨の日に，5分以上電車が遅延する確率」「検査で陽性だったときに，本当は病気に罹患していない確率」など，なんらかの条件のもとで考える確率を条件付き確率といい，条件付き確率は様々な場面で用いられます．

また，マルコフ連鎖は条件付き確率を用いて定義される重要な確率過程です．ざっくり言えば，確率過程とは時間ごとに変化する確率変数のことで，マルコフ連鎖はとくに直前の情報のみから次の状況が定まるような確率過程のことです．例えば，毎日の天気（晴・曇・雨）が前日の天気のみによって決まると考えると，これはマルコフ連鎖と捉えることができます．

第4期では，条件付き確率を測度論の立場から厳密に定義し，マルコフ連鎖の定義と考え方を学びます．

マルチンゲールとは「公平な賭け」を確率論で定式化したものです．たとえば，どの目も均等に出る6面サイコロを使った

• サイコロを1回振るごとに1円払う
• 1の目が出れば6円もらえる
• 2以上の目が出れば何ももらえない

というゲームは，マルチンゲールと捉えることができます．

マルチンゲールもマルコフ連鎖と同様に条件付き確率を用いて定義される確率過程です．

第5期では，離散時間マルチンゲールの定義と考え方を学びます．