線形代数入門

2022年度前期(4月-8月)のご受講、および、録画販売についてお申し込み受付中です。録画視聴による参加、途中参加も可能。こちらからお申込みいただけます。

講座の概要

多変数を扱うところには必ずといっていいほど数ベクトルと行列が現れます。これは多変数をそのまま扱うよりもベクトルや行列によって表現した方が分かりやすいためです。

1 変数で最も基本的な関数は比例でしょう。線形代数は「線形な構造を扱う分野」で、線形とは1 変数では比例のことを指します。つまり、線形代数は「多変数での比例に相当する関数を扱う分野」と言い換えることができます。

本講座では、基本的なベクトルや行列の扱いから始めて、線形代数をより深く理解することを目指します。線形代数を勉強することで、多変数の微分積分や多変量解析・機械学習など、様々なものの見通しがよくなることでしょう。

この講座では裳華房より出版されている、藤岡　敦 著　手を動かしてまなぶ線形代数を教科書として使用します。

受講にあたって

受講にあたって役に立つ知識
・高校数学の知識（大人のための高校数学IIB）

カリキュラム

1.  行列と数ベクトル
2.  連立１次方程式
3.  行列式
4.  線形空間と線形写像
5.  対角化と固有値・固有ベクトル

カリキュラム詳細

1. 行列と数ベクトル

２つの変数 \(x\) と \(y\) が \(y=ax\) の関係を満たすことを、\(a\)を比例係数として \(y\) が \(x\) に比例するといいます。線形代数ではこの比例関係に類似したものを多変数・多変量において扱います。

例えば、
$$
\begin{align}\label{eq:simul-eq}
\begin{cases}
y_{1}=2x_{1}+x_{2}\\
y_{2}=-x_{1}+3x_{2}
\end{cases}
\end{align}
$$
という連立1次方程式を考えてみましょう。線形代数ではこの右辺を係数部分 \(\left[\begin{array}{cc} 2 &1\\ -1 &3 \\ \end{array}\right]\) と変数部分\(\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array}\right]\)に分けて、
$$
\begin{align}\label{eq:mat-vec}
\left[\begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 &1\\ -1 &3 \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array}\right]
\end{align}
$$
と表します。

このとき、
$$
\begin{align*}
\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \end{array}\right],\
A=\left[\begin{array}{cc} 2 &1\\ -1 &3 \\ \end{array}\right],\
\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array}\right]
\end{align*}
$$
とおくと、今回の方程式は \(\mathbf{y}=A \mathbf{x}\) とかけるため、あたかも「\(A\) を比例係数として\(\mathbf{y}\)が\(\mathbf{x}\)に比例する」と方程式を捉えることができます。

このときの\(\mathbf{x}\)や\(\mathbf{y}\)を数ベクトルといい、\(A\) を行列といいます。このような比例関係の多変数化を扱っていく中で、行列と数ベクトルは線形代数の基本の言葉となります。

この授業の最初では和や積、スカラー倍などの行列と数ベクトルの基本事項を説明します。

2. 連立1次方程式

1章で説明する行列とベクトルの積によって、全ての連立1次方程式は
$$
\begin{align}
\left[\begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} a_{1 1} & a_{1 2}\\ a_{2 1} &a_{2 2} \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array}\right]
\end{align}
$$
と表せます。このように、連立1次方程式と行列・数ベクトルは非常に密接な関係があります。

実は、線形代数の理論は全て連立1次方程式をベースに組み立てられていると言ってもよいくらいで、連立1次方程式の扱いはこの後でも重要となります。

ここでは連立1次方程式の求解法や解のもつ性質を、行列・数ベクトルを用いて理解することを目指します。

3. 行列式

0以外の実数に逆数があるように、行列にも逆行列というものがあります。しかし、いつでも逆行列が存在するとは限らないというところは実数の逆数と異なります。

そのため、

• 逆行列がいつ存在するか
• 存在すればどのような行列か

は非常に重要な問題です。

そこで、逆行列の存在を判定するためのものとして行列式があります。行列式は行列のある性質を定量的に取り出すもので、平行四辺形の面積や平行六面体の体積と関係付けることができます。

4. 線形空間と線形写像

ここからは、これまで説明してきた行列と数ベクトルを和やスカラー倍の視点から一般化していきます。数ベクトルの集合を一般化したものは線形空間、行列を一般化したものは線形写像と呼ばれるものになります。

実は、これら線形空間と線形写像こそが線形代数の真髄で、多項式や数列、関数といった数ベクトルとは一見全く異なる対象も、数ベクトルと同一の理論で扱えるようになります。

これにより、様々な問題を線形代数の理論から解くことができるようになります。ここでは具体例を交えながら、線形空間と線形写像の種々の性質を説明します。

5. 対角化と固有値・固有ベクトル

与えられた行列を調べるための方法の1つに対角化があります。例えば、行列 \(A\) に対して \(A^2, A^3, \ldots, A^n\) を計算する際、行列の積の定義に当てはめて愚直に計算しようとすると膨大な労力が必要となります。

しかし、対角化を用いることで、この計算を非常に簡明に行うことができます。

$$
\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -1 & 0\\ \end{array}\right]^n = \left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ -1 &1\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 2^n & 0 \\ 0 &(-1)^n \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ -1 &1 \\ \end{array}\right]^{-1} = \frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc} 2^{n+1} +(-1)^n & -2^{n+1} + (-1)^n \cdot 2\\ -2^n + (-1)^n &2^n +(-1)^n \cdot 2 \\ \end{array}\right]
$$

この対角化を行うために重要となるのが

• • 固有値
  • 固有ベクトル

です。

ここでは対角化の仕組みを固有値・固有ベクトルの観点から説明します。

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開講スケジュール

土曜日クラス：4月30日、8月13日は休講です。