線形代数入門

2021年度後期(10月-2022年2月)のご受講、および、録画販売についてお申し込み受付中です。録画視聴による参加、途中参加も可能。こちらからお申込みいただけます。

algebra

講座の概要

多変数を扱うところには必ずといっていいほど数ベクトル行列が現れます。これは多変数をそのまま扱うよりもベクトルや行列によって表現した方が分かりやすいためです。

1 変数で最も基本的な関数は比例でしょう。線形代数は「線形な構造を扱う分野」で、線形とは1 変数では比例のことを指します。つまり、線形代数は「多変数での比例に相当する関数を扱う分野」と言い換えることができます。

本講座では、基本的なベクトルや行列の扱いから始めて、線形代数をより深く理解することを目指します。線形代数を勉強することで、多変数の微分積分や多変量解析・機械学習など、様々なものの見通しがよくなることでしょう。

受講にあたって

受講にあたって役に立つ知識
・高校数学の知識(大人のための高校数学IIB

カリキュラム

  1.  行列と数ベクトル(教科書第1章~第3章)
  2.  逆行列と行列式(教科書第3章~第4章)
  3.  線形空間と線形写像(教科書第5章~第6章)
  4.  ノルム空間と内積空間(教科書第7章)
  5.  対角化と固有値・固有ベクトル(教科書第8章)

カリキュラム詳細

1. 行列と数ベクトル

まずは連立1 次方程式という馴染みのある対象と行列・数ベクトルの関係を説明します。実は連立1 次方程式は行列と数ベクトルを用いることで、スッキリと表すことができます。中学校以来、連立1 次方程式を加減法で解いてきましたが、この加減法は行列の基本変形(掃き出し法) という操作によって理解することができます。

連立1 次方程式を用いて行列・数ベクトルをイメージから理解したのち、連立1 次方程式から離れて行列・数ベクトルのもつ性質を説明していきます。

2. 逆行列と行列式

0 以外の実数に逆数があるように、行列にも逆行列というものがあります。しかし、「いつでも逆行列が存在するとは限らない」というところは実数の逆数と異なります。そのため、

  • 逆行列がそんざいするか
  • 存在すればどのような行列か

は非常に重要な問題です。

そこで逆行列の存在を判定するためのものとして行列式があります。行列式は行列のある性質を定量的に取り出すもので、平行四辺形の面積や平行六面体の体積と関係付けることができます。

3. 線形空間と線形写像

ここまでで説明してきた行列と数ベクトル空間を一般化することを考えます。結論から言えば

  • 数ベクトル空間を一般化したものは線形空間
  • 行列を一般化したものは線形写像

と呼ばれるものになります。

実はこの抽象化こそが線形代数の真髄で、数ベクトルとは一見全く異なる「関数」や「数列」といったものもベクトルとして扱うことができます。これにより、様々な問題を線形代数の理論から解くことができるようになります。

ここでは具体例を交えながら、線形空間と線形写像の種々の性質を説明します。

4. ノルム空間と内積空間

高校数学ではベクトルの長さや内積を学びますが、これあはベクトルの定量的な性質を表すものとして、とても便利なものでした。

高校数学では長さや内積は1種類しか登場しませんが、実はこれらは線形代数ではそれぞれ標準ノルム標準内積と呼ばれるもので、線形代数では様々なノルム(長さ)と内積が考えられます。

とはいえ、本講義では標準ノルムと標準内積をメインに扱うことになりますが、ここでは線形空間のノルムと内積による定量的な考え方を説明します。

5.対角化と固有値・固有ベクトル

行列を調べるための方法の1つに対角化があります。例えば、同じ行列を何回もかけたのものを計算する際、行列の積の定義に当てはめて愚直に計算しようとすると膨大な労力が必要となります。しかし、対角化を用いることで、この計算を非常に簡明に行うことができます。

この対角化を行うために重要となるのが

  • 固有値
  • 固有ベクトル

です。ここでは対角化の仕組みを固有値・固有ベクトルの観点から説明します。

受講詳細

受講および録画販売のお申し込みは、お申込みページからお願いします。

名称 線形代数入門
講師 山本拓人
日程 ・日曜クラス : 10:00-12:00, 10/17-3/6, (12/19, 1/2は休講)

* 詳細は下記の開講スケジュールをご参照ください。

場所 Zoomによるオンライン講座
教科書 加藤文元著 数研講座シリーズ 大学教養 線形代数

※著作権の関係上、お持ちでない場合は必ずご購入いただくようお願いいたします。著者及び出版社には、教科書として使用する許可を得ておりますが、本講座とは無関係です。本講座に関しては弊社へのみお問い合わせください。

受講料 19,500円/月
クレジットカード支払いはこちらのページから。
持ち物 筆記用具, 教科書
その他 ・体験受講は無料です。1回のみのご参加で辞退された場合、受講料は頂いておりません。(ただし、特別授業は除く。)

・授業は毎回録画されます。受講月の録画は授業終了から2年間オンラインにて見放題となります(ダウンロード不可)。

・動画視聴のみの受講も可能です。アーカイブのご視聴をご希望の方はこちら

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開講スケジュール

12月19日、1月2日は休講です。

日曜日クラス
10:00〜12:00
第1講 10月17日
第2講 10月24日
第3講 10月31日
第4講 11月7日
第5講 11月14日
第6講 11月21日
第7講 11月28日
第8講 12月5日
第9講 12月12日
第10講 12月26日
第11講 1月9日
第12講 1月16日
第13講 1月23日
第14講 1月30日
第15講 2月6日
第16講 2月13日
第17講 2月20日
第18講 2月27日
第19講 3月6日