微分積分入門

2020年度後期(10月-2月)開講分、お申込受付中です。こちらからお申込みいただけます。
calculus

講座の概要

微分積分はその誕生当初から様々な科学や技術に応用され続けており、現代の生活もそれなしには成立しません。ものごとの変化を記述したい、大きさをはかりたい、という二つの素朴な問題が密接に関係する。この事実は微分積分学の基本定理とよばれるもっとも基本的な事実です。本講座では、上の事実を理解することを目標にしながら、微積分を使った様々な計算手法を解説し、その応用としてより身近な問題を解いていきます。また歴史的背景にも触れながら、いかに「無限小」という概念が数学的に扱われるようになったかを見ていきます。

受講にあたって

受講にあたって役に立つ知識 ・高校数学の知識(大人のための高校数学IIB, 大人のための数学IIIC目標 ・様々な現象を記述する上で必要な微積分の理解と計算技術を習得する。

カリキュラム

  1. 1変数の微分
  2. 1変数の積分
  3. 微分方程式
  4. 多変数の微分
  5. 多変数の積分
  6. フーリエ級数・フーリエ変換(オプション)

カリキュラム詳細

1. 1変数の微分

高校数学の範囲でも扱う1変数の微分ですが、改めてその定義や意味について考え直します。関数の変化の様子を調べるための道具が微分ですが、実際に行うのは関数を一次関数で近似するという行為です。このことと極値や最大最小を求めることとの関係について学びます。 また、上で述べたように一次関数による近似よりも精密により高い次数で近似することができる場合があり、そういう状況を扱うのがテイラーの定理です。このような考え方により、関数の増減の様子やその速度について、より詳しい理解が可能になります。

2. 1変数の積分

こちらも高校で学ぶ内容をより詳しく学びます。また積分と微分の関係である、微積分学の基本定理についても扱います。これらに加え、積分区間が無限になった場合などを扱う概念である広義積分について学びます。 広義積分を導入することでガンマ関数やベータ関数といった関数を定義することができます。これらの関数は応用上非常に重要で、統計学などにもよく現れる関数です。積分を用いて定義されるこれらの関数について調べる方法も紹介します。

3. 微分方程式

様々な自然現象や社会現象を記述するのが微分方程式です。ある意味では微分方程式について調べることが、微分や積分の概念の発展に大きな影響を与えています。 ここでは一変数関数についての微分方程式である、常微分方程式について扱います。たとえばニュートンの運動方程式は常微分方程式です。

4. 多変数の微分

多変数関数の微分について学びます。多変数関数の微分には偏微分と全微分という二つがあります。偏微分はある一方向のみの変化の様子を調べるものですが、全微分は関数全体を一次関数で近似するものです。これら二つの微分の間に関係があるということを紹介します。 一変数関数で学んだテイラー展開の多変数版や、機械学習で出てくる勾配法、陰関数定理やラグランジュの未定乗数法など最大最小問題を扱う手法についても学びます。

5. 多変数の積分

ここでは多変数関数の積分について扱います。多変数関数の積分は重積分と呼ばれるものです。一変数の場合はaからbまで積分する、というシンプルなものですが、多変数になると積分する領域が様々になります。長方形のような場合には、多変数の積分といえども一変数の積分の繰り返しとして計算できることを見ます。 また、一変数の積分における置換積分の多変数版の変数変換公式、特にヤコビアンの考え方について紹介します。これは確率分布の変数変換などにも現れる重要な公式です。

6. フーリエ級数・フーリエ変換

余裕があれば微分積分の応用としてフーリエ級数やフーリエ変換について紹介します。これらは微分方程式の解法や、波や周期性のある現象の記述などに用いられるほか、コンピュータなどで扱うデータの圧縮などにも生かされる考え方です。

受講詳細

お申し込みは、お申込みページからお願いします。 ※お手数ですが、件名に『微分積分入門』を選択のうえ送信をお願いします。
名称 微分積分入門
講師 神戸祐太
日程 毎週日曜日 10:00-12:00, 10/11-2/28(12/27, 1/3は休講) ※ 詳細は下記の開講スケジュールをご参照ください。
場所 Zoomによるオンライン講座
※会場が変更となる場合があります。その際には、事前にご連絡をさしあげます。
教科書 加藤文元著 数研講座シリーズ 大学教養 微分積分
受講料 19,500円/月 クレジットカード支払いはこちらのページから。
持ち物 筆記用具

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講師からの一言

微積分を習得する上では、様々な関数の微分や積分をできるようになることと様々な操作や極限といった概念を理解することが必要です。この講座では演習問題を多く用意することで計算に習熟していただくと共に、教科書等では伝えづらい数学の背後にある考え方についてもお伝えします。またこの講座を通して、微積分の考え方が様々な現象をいかにうまく説明するか、また理論自体がいかにうまく組み立てられているかを味わっていただきたいと思います。

開講スケジュール

12月27日日曜日、1月3日日曜日は休講です。
日曜日クラス 10:00〜12:00
第1講 10月11日
第2講 10月18日
第3講 10月25日
第4講 11月1日
第5講 11月8日
第6講 11月15日
第7講 11月22日
第8講 11月29日
第9講 12月6日
第10講 12月13日
第11講 12月20日
第12講 1月10日
第13講 1月17日
第14講 1月24日
第15講 1月31日
第16講 2月7日
第17講 2月14日
第18講 2月21日
第19講 2月28日